Chuyên đề Bất phương trình hàm

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Bất phương trình hàm

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM ĐỖ THUÝ MAI TỔ: TOÁN TIN BẮC GIANG, THÁNG 3 NĂM 2023
2. MỤC LỤC Trang Phần I MỞ ĐẦU 1 Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ 3 Chƣơng I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1 Khái niệm phƣơng trình, bất phƣơng trình hàm 3 2 Một số định hƣớng ... 3 Chƣơng II BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM 4 1 Ƣớc lƣợng hàm số cho bởi các bất phƣơng trình hàm 4 2 Một số phƣơng pháp giải bất phƣơng trình hàm 12 2.1 Phƣơng pháp thử giá trị đặc biệt 12 2.2 Phƣơng pháp sử dụng giới hạn của dãy số để đánh giá cận 16 2.3 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 23 Phần III KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31
3. PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, học sinh được tiếp cận với hàm số từ rất sớm. Những bài toán hàm số thường được ví như những bông hồng lung linh muôn sắc. Hấp dẫn và kì bí! Những năm gần đây, trong các kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như khu vực và quốc tế chúng ta thường xuyên bắt gặp các bài toán về phương trình, bất phương trình hàm, trong đó các bài tập về bất phương trình hàm vẫn còn nhiều mới mẻ đối với học sinh. Điều này đặt ra yêu cầu được nghiên cứu tìm hiều nhiều hơn đối với dạng bài tập này, nhất là với các em học sinh chuyên Toán. Hiện nay, các tài liệu về phương trình hàn cũng khá đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, bài tập về bất phương trình hàm lại khá ít nên người đọc khó định hình các hướng giải quyết cho một bài toán bất phương trình hàm. Vì vậy tôi biên soạn chuyên đề này này với mong muốn giúp đỡ các em học sinh giải quyết phần nào những khó khăn đó. Tài liệu gồm hai chương: Chương I. Một số kiến thức cơ bản Chương II. Bất phương trình hàm Ở mỗi chương, tôi đã cố gắng tổng hợp một hệ thống kiến thức và các ví dụ đa dạng. Tôi cũng đã cố gắng sắp xếp các ví dụ từ dễ đến khó. Một số bài được giải theo nhiều phương pháp để người đọc có thể so sánh và thấy được nét đặc trưng và tính hiệu quả của từng phương pháp. Hy vọng sẽ để lại những ấn tượng tốt đẹp lòng bạn đọc! II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sâu về bất phương hình hàm cho các học sinh Chuyên. Đưa ra hệ thống các bài tập cơ bản, giúp học sinh chuyên tiếp cận với bất phương trình hàm một cách nhẹ nhàng nhất. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đưa ra hướng tiếp cận cho từng loại bài, hệ thống lý thuyết khoa học, đầy đủ. IV. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các bài toán bất phương trình hàm trong các kì thi Quốc gia, Quốc tế và khu vực. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thông qua thực tiễn dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia THPT Chuyên Bắc Giang để tổng hợp, phân tích, đánh giá. VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đưa ra được hệ thống lý thuyết, hệ thống bài tập từ cơ bản đến khó. Tạo hứng thú cho học sinh khi học bất phương trình hàm. 1
4. KÍ HIỆU VÀ QUY ƢỚC Trong tài liệu này ta sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa xác định như sau: Tập hợp các số tự nhiên * Tập hợp các số tự nhiên khác 0 Tập hợp các số nguyên Tập hợp các số thực Tập các số hữu tỷ dương Tập hợp các số nguyên dương Tập hợp các số thực dương 2
5. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ CHƢƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm phƣơng trình hàm Bài toán tổng quát. Cho X, Y là tập hợp số nào đó. Bài toán xác định hàm số f: X Y thỏa mãn một số điều kiện (*) nào đó cho trước là bài toán thường gặp trong Giải tích. Việc phân loại bài tập thường dựa vào tính chất của f(x) (liên tục, có đạo hàm, ); dạng của tập nguồn X, tập đích Y (có thể là , , , ,... ) và dạng của điều kiện (*) đã cho (tính chất hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, ) Định nghĩa 1.1. Phương trình hàm là dạng phương trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc một vài) hàm số. Sau đây ta đưa ra một số ví dụ mang tính chất minh họa và giới thiệu. 1. Xác định tất cả các hàm số f : thỏa mãn điều kiện f( x y ) f ( x ) f ( y ),  xy, . Trong chương trình toán phổ thông chúng ta cũng gặp các bài toán xác định lớp các hàm số thỏa mãn một vài tính chất nào đó. Chẳng hạn 2. Cho hằng số T 0. Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn điều kiện f( x T ) f ( x ),  x . (Đáp số: lớp các hàm số tuần hoàn tùy ý trên với chu kì T.) Như vậy, một phương trình hàm không những có thể xác định một hoặc một vài hàm số nào đó mà còn có thể xác định một lớp các hàm số có chung các tính chất đã cho được thể hiện bởi điều kiện của phương trình hàm đó. Khi ta thay dấu bằng ở phương trình thành các dấu lớn bé thì ta sẽ được các bất phương trình hàm. Định nghĩa 1.2. Bất phương trình hàm là dạng bất phương trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc một vài) hàm số. 2. Một số kĩ thuật cơ bản Kĩ thuật 1. Tìm các nghiệm riêng đơn giản như hàm hằng, hàm bậc nhất, Dựa vào các nghiệm đó, chúng ta sẽ hiểu hơn về hàm cần tìm và có thể có được các phương hướng giải phương trình, bất phương trình hàm đã cho. Kĩ thuật 2. Tính các giá trị đặc biệt của f(x), chẳng hạn: f (0) , f ( 1) , f (2) , Đôi khi, nếu f(0) hoặc f(1) không tính được, ta có thể đặt chúng bằng tham số. Kĩ thuật 3. Nghiên cứu các tính chất đặc biệt của hàm số cần tìm như đơn ánh, toàn ánh, song ánh, chẵn, lẻ, Kĩ thuật 4. Khai thác tính đối xứng trong phương trình, bất phương trình hàm đã cho. 3
6. CHƢƠNG II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1. Ƣớc lƣợng hàm số cho bới các bất phƣơng trình hàm 1.1. Phương pháp 4