Đề cương ôn tập Hình học 12 - Chuyên đề: Ôn tập hệ trục tọa độ trong không gian - Vi Phương Ngọc

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Hình học 12 - Chuyên đề: Ôn tập hệ trục tọa độ trong không gian - Vi Phương Ngọc

1. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 ƠN TẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I. KIẾN THỨC – BÀI TẬP MINH HỌA 1. Hệ trục tọa độ + Trong khơng gian, ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuơng gĩc với nhau từng đơi một. i 1;0;0 ; j 0;1;0 ; k 0;0;1 lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục này được gọi là hệ tọa độ Oxyz. Trong đĩ: - O là gốc tọa độ. - Các mặt phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đơi một vuơng gĩc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. - Khơng gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là khơng gian Oxyz. 2 2 2 - i j k 1 (các véc tơ đơn vị đều cĩ độ dài bằng 1) - i. j j . k k . i 0 (các véc tơ đơn vị đơi một vuơng gĩc với nhau) 2. Tọa độ điểm, véc tơ Trong khơng gian Oxyz. a. Tọa độ điểm + Mxyz(;;)  OM xi yj jk (các hệ số của các véc tơ i;; j k theo thứ tự lần lượt là hồnh độ, tung độ và cao độ của điểm và ngược lại). Bài tốn 1: 1. Biết tọa độ điểm, biểu diễn véc tơ tương ứng theo các véc tơ đơn vị: M(1;2;4) OM i 2 j 4 k . N(3; 4;0)  ON 3 i 4 j . (vì cao độ của điểm bằng 0 nên khơng cĩ k ). 2. Cho véc tơ biểu diễn theo các véc tơ đơn vị, xác định tọa độ điểm tương ứng: OA 3 i j 5 k  A 3; 1;5 .
2. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 OB j 2 k  B 0;1; 2 .(khơng cĩ i nên hồnh độ của điểm bằng 0) b. Tọa độ véc tơ + a (;;) aaa1 2 3  aaiajak 1 2 3 (các hệ số của các véc tơ i;; j k theo thứ tự lần lượt là hồnh độ, tung độ và cao độ của véc tơ và ngược lại). + M x;;;; y z  OM x y z (tọa độ điểm chính là tọa độ véc tơ tương ứng) c. Hình chiếu của điểm lên trục, mặt phẳng tọa độ + Điểm M x;; y z . Hình chiếu của điểm M lên trục Ox là điểm Mx1 ;0;0 Hình chiếu của điểm M lên trục Oy là điểm My2 0; ;0 Hình chiếu của điểm M lên trục Oz là điểm Mz3 0;0; Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng Oxy là điểm M4 x; y ;0 Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng Oyz là điểm M5 0; y ; z Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng Ozx là điểm M6 x;0; z (Để nhớ: trục Ox gắn với hồnh độ, trục Oy gắn với tung độ, trục Oz gắn với cao độ. Nhìn vào đề bài để giữ lại tọa độ, các tọa độ khơng liên quan với đề bài thì bằng 0). Bài tốn 2: 1. Biết tọa độ véc tơ, biểu diễn véc tơ đĩ theo các véc tơ đơn vị: a ( 1;2;3)  a i 2 j 3 k ; b (2;0; 1)  b 2 i k . 2. Cho véc tơ biểu diễn theo các véc tơ đơn vị, xác định tọa độ véc tơ đĩ: a 3 i 2 j 5 k  a 3;2; 5 ; b i j  b 1; 1;0 . 3. Mối quan hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ véc tơ tương ứng: M 2;1; 3  OM 2;1; 3 ; N 0;0;2  ON 0;0;2 OA 0; 2;1  A 0; 2;1 ; OB 3; 4;2  B 3; 4;2 4. Hình chiếu của điểm M 1;2; 2 và N 0;4;3 lên trục, mặt phẳng tọa độ Hình chiếu của M và N lên trục lần lượt là là điểm M1 1;0;0 ; N1 0;0;0 Hình chiếu của M và N lên trục Oy lần lượt là là điểm M2 0;2;0 ; N2 0;4;0 Hình chiếu của M và N lên trục Oz lần lượt là là điểm M3 0;0; 2 ; N3 0;0;3 Hình chiếu của M và N lên mặt phẳng Oxy lần lượt là là điểm M 4 1;2;0 ; N4 0;4;0 Hình chiếu của M và N lên mặt phẳng Oyz lần lượt là là điểm M5 0;2; 2 ; N5 0;4;3 Hình chiếu của M và N lên mặt phẳng Ozx lần lượt là là điểm M6 1;0; 2 ; N6 0;0;3 3. Biểu thức tọa độ + Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a (; a1 a 2 ;a), 3 b (; b 1 b 2 ;b) 3 . Ta cĩ: (1)a b a1 b 1 ; a 2 b 2 ; a 3 b 3 (2) ka kaaa 1 ; 2 ; 3 kakaka 1 ; 2 ; 3 ()kR ab11 (3) a b a22 b ab33 (hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chung cĩ các tọa độ tương ứng bằng nhau) (4) 0 0;0;0 (tọa độ véc tơ 0 )
3. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 a11 kb (5) a và b cùng phương khi và chỉ khi k:0 a22 kb b a33 kb (6)AB xBABABA x ; y y ; z z (cơng thức tính tọa độ véc tơ khi biết tọa độ của điểm đầu và điểm cuối) xABABAB x y y z z (7) M là trung điểm của đoạn thẳng AB M ;; 2 2 2 xABCABCABC x x y y y z z z (8) G là trọng tâm ABC G ;; 3 3 3 xACBD x x x (9) Hình bình hành ABCD  yACBD y y y zACBD z z z (cơng thức (9) cũng đúng cho cả đối với hình thoi, hình chữ nhật và hình vuơng) Bài tốn 3: 1. Xác định tọa độ của tổng (hiệu) các véc tơ. PP: Sử dụng cơng thức (1) và (2) bên trên. a 1;2;0 Cho: . Ta cĩ: b 1;1;3 c a b 1 ( 1);2 1;0 3 0;3;3 ; d a b 1 ( 1);2 1;0 3 2;1; 3 ua 2 2 1;2;0 2.1;2.2;2.0 2;4;0 ; va 3 3 1;1;3 3 . 1 ; 3 .1; 3 .3 3; 3; 9 x 4 a 2 b 4.1 2 1 ;4.2 2.1;4.0 2.3 2;10;6 y 3 a 4 b 3.1 4 1 ;3.2 4.1;3.0 4.3 7;2; 12 z a2 b 1 2 1 ; 2 2.1; 0 2.3 1;0;6 2. Tìm m để hai véc tơ am 1; 1; 1 và bm 1;0; bằng nhau PP: Sử dụng cơng thức (3) 1 1 luôn đúng m 1 Ta cĩ: a 1; m 1; 1 b 1;0; m  m 1 0   m 1 1 m 1 m Vâỵ m=1 là giá trị cần tìm. 3. a. Tìm m để hai véc tơ am 1; ;3 và b 2;4;6 cùng phương. Ta lấy tỉ số các tọa độ tương ứng của 2 véc tơ rồi cho các tỉ số này bằng nhau. 1mm 3 1  m 2 2 4 6 4 2 Chú ý: Trong 2 véc tơ cùng phương, nếu cĩ 1 tọa độ bằng 0 thì tọa độ véc tơ cịn lại ở vị trí tương ứng cũng bằng 0. 2 1 0 2 m 0 a 1;0;2 và b2; m ; m m 4 cùng phương nếu:  2 2 24m m m mm 44
4. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3  m 0. Vậy m=0. b. Trong các véc tơ dưới đây, véc tơ nào cùng phương với u 1;1;2 A. a 1; 1;2 . B. B 2;2;2 . C. c 2;2; 4 . D. d 2; 2; 4 . 1 1 2 1 1 Đáp án D. đúng vì ta cĩ: ud . 2 2 4 2 2 4. Xác định tọa độ véc tơ khi biết tọa độ của điểm đầu và điểm cuối PP: Sử dụng cơng thức (6). Lấy tọa độ điểm cuối trừ cho tọa độ điểm đầu tương ứng. B 3;7;9 N 2;1;2 A 0;2;5 ; ; M 1;3;2 ; AB 3 0;7 2;9 5 3;5;4 MN 2 1 ;1 3;2 2 1; 2;0 5. Trung điểm đoạn thẳng (sử dụng cơng thức (7)) A 0;1; 1 0 2 1 3 11 Cho . I là trung điểm của AB. Ta cĩ I ; ; 1;2;0 . B 2;3;1 2 2 2 N 2;1;2 21 1 0 2 2 3 1 P là trung điểm của MN. Ta cĩ P ; ; ; ;2 . M 1;0;2 ; 2 2 2 2 2 6. Trọng tâm tam giác (sử dụng cơng thức (8)) A 1;2;3 1 1 22 0 1 3 1 2 2 2 B 1;0;1 . G là trọng tâm ABC . Ta cĩ G ; ; ;1; 3 3 3 3 3 C 2;1; 2 7. Hình bình hành a. Cho hình bình hành ABCD, biết ABC 1;2;3 ; 1;0;1 ; 2;1; 2 . Tìm tọa độ đỉnh D. xACBDDACB x x x x x x x xD 1 2 1 xD 4 Ta cĩ: yACBDDACBDD y y y y y y y y 2 1 0 y 3 z z z z z z z z z 0 ACBDDACB zD 3 2 1 D Vậy D 4;3;0 . 4. Tích vơ hướng của 2 véc tơ và ứng dụng + Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho . Ta cĩ: (10)a . b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (Tích vơ hướng của 2 véc tơ) 222 (11) a a1 a 2 a 3 (Độ dài của véc tơ) ab. a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (12) cosab , a (; a1 a 2;a), (Gĩc 3 b giữ (; ba 1 2 b 2véc ;b) 3 tơ) 2 2 2 2 2 2 ab. a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3 2 2 2 (13) AB AB xBABABA x y y z z (Khoảng cách giữa 2 điểm) Bài tốn 4: Cho a 1;2;3 , b 1;0;1 , c 2;1; 2 . 1. Ta cĩ tích vơ hướng của các cặp véc tơ sau: ab. 1. 1 2.0 3.1 2 . bc. 1 .2 0.1 1. 2 4. ac. 1.2 2.1 3. 2 2.
5. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 2.Độ dài các véc tơ: aa 1;2;3 12 2 2 3 2 14 . bb 1;0;1 1 2 022 1 2 . cc 2;1; 2 222 1 2 2 9 3. 3. Gĩc giữa các véc tơ được tính như sau: ab. 2 7 cos a ; b a ; b 670 48' . ab. 14. 2 7 bc. 4 2 2 cos b ; c b ; c 1600 32'. bc. 2.3 3 ac. 2 14 cos a ; c a ; c 1000 16' ac. 14.3 21 4. Khoảng cách giữa 2 điểm A 1;2;3 AB 4 1 2 0 2 2 5 3 2 17 B 4;0;5 M 0; 2;1 2 2 2 MN 1 0 2 2 3 1 33 N 1;2; 3 5. Phương trình mặt cầu Mặt cầu tâm I a;; b c bán kính R cĩ phương trình là: x a 2 y b 2 z c 2 R2 Dạng khai triển: x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czabc 2 2 2 R 2 0 Bài tốn 5: 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình a. x 1 22 y 2 z2 4 Bán kính: R 42 (lấy căn bậc 2 của vế phải) xx 1 0 1 Tìm toạ độ của tâm: Ta cho từng thừa số của lũy thừa bậc 2 bằng 0: yy 2 0  2 . zz 00 Vậy mặt cầu cĩ tâm I 1; 2;0 . Bán kính R 2. b. x2 y 2 z 2 4 x 6 y 2 z 2 0 (số hạng tự do là -2) Ta xác định tọa độ điểm I bằng cách lấy từng hệ số của x,y,z đem chia cho -2. 4 6 2 I ; ; 2; 3;1 (chú ý chưa khẳng định I là tâm của mặt cầu) 222 Tìm bán kính: R2 2 2 3 2 1 2 2 16 (tổng bình phương các tọa độ của điểm I trừ cho số hạng tự do, nếu tính ra mà nhỏ hơn hoặc bằng 0 thì đĩ khơng là pt mặt cầu) Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu cĩ bán kính R 16 4 và tâm I 2; 3;1 c. x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 10 0 (số hạng tự do là 10) 2 4 2 2222 2 I ; ; 1; 2;1 , Tính R 1 2 1 10 4 0 (vơ lý, vì R 0). 222
6. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 Vậy pt: khơng phải là phương trình của mặt cầu. d. 2x2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 z 2 0 Dạng này ta thấy hệ số của x2,, y 2 z 2 đều bằng nhau nhưng khác 1, ta phải đưa về hệ số của chúng là 1 bằng cách chia tất cả các số hạng cho hệ số của là 2. Ta được: 2x2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 z 2 0  x2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 ( số hạng tự do là -1) 2 2 2 2 2 2 2 (lúc này ta mới làm các bước như phần b.) 2 0 4 2 2 2 2 Tọa độ điểm II ; ; 1;0; 2 . RR 1 0 2 1 6 6 222 Vậy pt đã cho là pt mặt cầu cĩ tâm I 1; 2;0 , bán kính R 6 . 2. Lập phương trình mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước a. Biết tâm I 1;2; 3 và bán kính R 5 22 2 x ; y ; z x 1 y 2 z 3 52 . Phương trình mặt cầu: I 1;2; 3  x 1 2 y 2 2 z 3 2 25 b. Biết tâm I 1;2;0 và điểm A 0; 1;1 thuộc mặt cầu (hay mặt cầu đi qua điểm A) 2 tâm . Ta cĩ phương trình mặt cầu: x 1 y 2 22 z 0 R2 .  x 12 22 y z22 R Khoảng cách từ tâm I đến điểm A chính là bán kính, ta cĩ: R IA 22 2 2 22 2 2 R IA xAIAIAI x y y z z 0 1 1 2 1 0 11 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 22 y 2 z2 11. c. Biết đường kính AB, với AB 3; 1;2 , 1;1;0 . 3 1 1 1 2 0 Ta cĩ tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB, I ; ; 2;0;1 2 2 2 AB Bán kính R IA IB (dùng 1 trong 3 cơng thức, ở đây thầy tính theo IB) 2 22 2 2 2 2 2 2 R IB xBIBIBI x y y z z 1 2 1 0 0 1 3 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x 2 2 y 0 2 z 1 2 3.  x 2 22 y2 z 1 3. 6. Phương trình mặt phẳng + Phương trình mặt phẳng đi qua M x0;; y 0 z 0 và nhận n A;; B C làm véc tơ pháp tuyến: Axx 0 Byy  0 Czz 0 00 AxAx 0 ByBy 0 CzCz 0 Ax By Cz D 0 D Ax0 By 0 Cz 0 + mặt phẳng cĩ phương trình: Ax By Cz D 0 , (với ABCD,,, là các số thực). Thì: là một véc tơ pháp tuyến của (tọa độ VTPT lần lượt là hệ số của x,y,z). Điểm Mxyz; ;  AxByCzD 0. x2 y0 2 0 z 2 0 2 x 4 y 2 z 0 10 0 0 0 Bài tốn 6: 1. Xác định véc tơ pháp tuyến khi biết phương trình tổng quát của mặt phẳng
7. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 Mặt phẳng : 2x 4 y 3 z 1 0 cĩ một véc tơ pháp tuyến n 2;4; 3 Mặt phẳng  : x 3 y 2 z 2 0 cĩ một véc tơ pháp tuyến n 1;3; 2 Mặt phẳng  : 4xy 1 0 cĩ một véc tơ pháp tuyến n 4; 1;0 (vì hệ số của z là 0). 2. Xác định điểm thuộc (khơng thuộc) mặt phẳng cho trước Mặt phẳng : x y 2 z 1 0 Điểm A 0;1;2 : 0 1 2.2 1 2 0. Nên A 0;1;2 (khơng thuộc) Điểm B 2;1;0 : 2 1 2.0 1 0. Nên B 2;1;0 (thuộc) Điểm C 1;2;2 : 1 2 2.2 1 0. Nên C 1;2;2 (thuộc) Điểm D 3; 2;5 : 3 2 2.5 1 14 0 . Nên D 3; 2;5 ( khơng thuộc) (thay lần lượt 3 tọa độ của điểm vào x,y,z ở vế trái phương trình mặt phẳng) 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và cĩ một véc tơ pháp tuyến cho trước a. Mặt phẳng đi qua A 1;2;3 và cĩ n 2;1;4 là véc tơ pháp tuyến : 2 x 11 y 24 z  30 22 x y 24120 z : 2x y 4 z 12 0 b. Mặt phẳng  đi qua B 2;0;1 và cĩ n 3;2;0 là véc tơ pháp tuyến  : 3 x 2200103620 y z  x y : 3xy 2 6 0 (chú ý: HS hay nhầm giữa việc thay tọa độ của véc tơ pháp tuyến và tọa độ điểm khi viết phương trình mặt phẳng. Tọa độ véc tơ pháp tuyến ở bên ngồi ngoặc, khi nhân phá ngoặc thì chính là hệ số của x,y,z). II. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY Casio fx -570 VN PLUS fx -570 ES PLUS 1. Vào chức năng để máy tính tốn véc tơ Để vào tính tốn véc tơ, sau khi mở máy tính ấn liên tiếp các phím w 8 C (màn hình hiện chữ VCT) 2. Nhập tọa độ cho véc tơ q52(data) 1(VctA) 1(:3) để nhập tọa độ cho véc tơ a , (nhập xong hồnh độ thì ấn phím = để chuyển nhập tiếp sang các tọa độ tiếp theo) q52(data) 2 (VctB) 1(:3) cho véc tơ b q52(data) 3 (VctC) 1(:3) cho véc tơ c . 3. Tọa độ tổng (hiệu) các véc tơ
8. Hình học 12 GV: Vi Phương Ngọc – Trường THPT Sơn Động số 3 q53+q54pq55 ( a b c) = 2q53+3q54 ( 23ab ) = zq53+3q55 ( ac3 ) = 4. Độ dài véc tơ Độ dài véc tơ a : q c(Abs) q53 = Độ dài véc tơ b : q c(Abs) q54 = Độ dài véc tơ c : q c(Abs) q55 = 5. Tích vơ hướng ab. : q53 q57(Dot) q54 = bc. : q54 q57(Dot) q55 = 6. Tích cĩ hướng ab, : q53 O q54 = ac, : q53 O q55 =