Đề cương ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian (Hệ trục tọa độ trong không gian và phương trình mặt cầu)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian (Hệ trục tọa độ trong không gian và phương trình mặt cầu)

1. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KG VÀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU) Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;0 , B 3;4;1 , D 1;3;2 . Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 . A. C 5;9;5 . B. C 1;5;3 . C. C 3;1;1 . D. C 3;7;4 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có AB (2;2;1),AD ( 2;1;2) . A B Suy ra AB CD và AB AD. Theo giả thiết, suy ra DC 2AB . Kí hiệu C(a;b;c) , ta có DC (a 1;b 3;c 2) , D C 2AB (4;4;2). Từ đó C(3;7;4) . Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2; 1),B(2; 1;3),C( 4,7,5) Tính độ dài đường phân giác trong BD và phân giác ngoài BE. Hướng dẫn giải DA BA 26 1 a) Gọi D(x; y;z) Ta có DC BC104 2 1 Vì D nằm giữa A, C nên DA DC 2 2 11 2 74 Từ đó tìm được D ; ;1 DB 3 3 3 Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ABC có đỉnh A 4;1;0 , trực tâm H 8;1;0 và M 1;1;0 là trung điểm BC. Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp . A. I 1;1;0 B. I 1;0;1 C. I 1;1;1 D. I 1;1;0 Lời giải: Theo tính chất về đường tròn Euler ta có: AH 2 IM 4;0;0 21 x ;1 y ; z Vậy I 1;1;0 . Chọn đáp án D. Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 0 và điểm A 2;2;0 . Tìm điểm B thuộc mặt cầu S , có hoành độ dương và tam giác OAB đều. A. x y 20 z B. x y z 0 C. x y z 0 D. x y 20 z
2. Lời giải: Ta có OA 22 do đó điểm B nằm trên các mặt cầu tâm O và tâm A có cùng bán kính 22 x2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 0 x2 y 2 z 2 8 nên tọa độ B là nghiệm của hệ: x2 y 2 z 2 8 x y z 0 B 2;0; 2 . 222 xy 2 x 2 y 2 z 8 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 3;1 và B 5; 6; 2 . Đường AM thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số . BM AM 1 AM AM 1 AM A. . B. 2 . C. . D. 3 . BM 2 BM BM 3 BM Hướng dẫn giải ;0; ; AB 7;; 3 1 AB 59 AM x 2;; 3 z 1 và Ta có: M Oxz M x z ; x 2 7 k x 9 Ta có: ABM,, thẳng hàng AM k. AB k 3 3kk 1 M 9;0; 0 . z 10 k z BM 14; 6 ; 2 BM 118 2 AB . và Chọn đáp án A. Câu 6: Cho hai điểm A, B a) Tìm tọa độ điểm C Oy để tam giác ABC có diện tích bằng 11 và thỏa mãn OC 1 b) Tìm điểm D (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB Hướng dẫn giải a) Gọi C(0;y;0) AB ( 2; 2;4),AC ( 2;y;1) Ta có: SABC 11 11 AB,AC 11 (2 4y)22 36 (2y 4) 11 22 3 20y2 32y12 0 y 1hoặc y 5 Vậy C b) Gọi D(x;0;z) (Oxz) DC ( z; 1; z) ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB,DC cùng hướng x 1 z 0 x 1,z 2 .Vậy D(1;0; 2) 2 2 4
3. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm AMN 1;2; 1 , 2;4;1 , 1;5;3 . Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng P : x z 27 0 sao cho tồn tại các điểm BD, tương ứng thuộc các tia AM, AN để tứ giác ABCD là hình thoi. A. C 6; 17;21 B. C 20;15;7 C. C 6;21;21 D. C 18; 7;9 Lời giải: C là giao của phân giác trong AMN với P . Ta có: AM 3; AN 5 . EM AM 3 Gọi E là giao điểm phân giác trong AMN và MN . Ta có: EN AN 5 xt 15 13 35 7 5EM 3 EN 0 E ; ; AE : y 2 19 t C 6;21;21 . 8 8 4 zt 1 22 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B(3;0;8) , D( 5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA CB bằng: A. 5 10. B. 6 10. C. 10 6. D. 10 5. Hướng dẫn giải Ta có trung điểm BD là I( 1; 2;4) , BD 12và điểm A thuộc mặt phẳng ()Oxy nên A( a ; b ;0) . 22 AB AD 2 2 2 2 2 (a 3) b 8 ( a 5) ( b 4) ABCD là hình vuông 2 1 2 2 2 AI2 BD (ab 1) ( 2) 4 36 2 17 a ba 42 a 1 5 17 14 A(1;2;0) 22 hoặc A hoặc A ; ;0 . Với (aa 1) (6 2 ) 20 b 2 14 55 b 5 C( 3; 6;8) . Câu 9: [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm AB 0;0; 1 , 1;1;0 , C 1;0;1 . Tìm điểm M sao cho 32MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 31 31 33 31 A. M ; ; 1 . B. M ; ;2 . C. M ; ; 1 . D. M ; ; 1 . 42 42 42 42 Lời giải Chọn D 31 Gọi I xIII;; y z thỏa mãn điều kiện 3IA 2 IB IC 0 I ; ; 1 42 222 Ta có P 3 MA2 2 MB 2 MC 2 3 MI IA 2 MI IB MI IC 4MI2 2 MI 3 IA 2 IB IC 3 IA 2 2 IB 2 IC 2 4 MI 2 3 IA 2 2 IB 2 IC 2 0
4. 31 Suy ra Pmin MImin M trùng với điểm I . Vậy M ; ; 1 42 Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2;4; 1), B(1;4; 1) , C(2;4;3) D(2;2; 1) . Biết M x;; y z , để MA2 MB 2 MC 2 MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng A. 7. B. 8. C. 9. D. 6. Hướng dẫn giải 7 14 Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ; ;0 . 33 Ta có: MA2 MB 2 MC 2 MD 2 4 MG 2 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2 2 2 2 2 7 14 GA GB GC GD . Dấu bằng xảy ra khi M  G ; ;0 x y z 7. 33 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 4;2; 2 , B 1;1; 1 , C 2; 2; 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc Oxy sao cho MA 2 MB MC nhỏ nhất. A. M 2;3;1 . B. M 1;3;0 . C. M 2; 3; 0 . D. M 2; 3;0 . Lời giải Chọn D Cách 1 Gọi DEF;; lần lượt là trung điểm của AB;; AC ME . Ta có: MA 2 MB MC MA MB MB MC 2. MD CB 2. MD 2. ED 2 2. FD 4. FD 5 3 1 xy 3 Ta lại có: M x;;0; y D ;; ; E 3;0;0; F ;;0 2 2 2 2 2 FDmin F là hình chiếu của D trên mp Oxy x 2; y 3 M 2;3;0 Cách 2 Gọi I là điểm thỏa mãn: IA 2 IB IC 0 IO OA 2 IO OB IO OC 0 1 OI OA 2 OB 0 C I 2;3;1 2 MA 2 MB MC 2 MI IA 2 IB IC 2. MI MA 2 MB MC nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên .
5. Vì IM 2;3;1 2;3;0 Cách 3 Gọi M x; y ;0 . Ta có: MA 2 MB MC 42;62;1 x y MA 2 MB MC 44162453 x22 y x y Thế tọa độ điểm M ở đáp án A vào ta được MA 21 MB MC Thế tọa độ điểm ở đáp án B vào ta được MA 2 MB MC 17 Thế tọa độ điểm ở đáp án C vào ta được MA 2 MB MC 145 Điểm ở đáp án D không thuộc nên bị loại. Cách 4 Gọi . Ta có: Ta có: 4x22 4 y 16 x 24 y 53 2 x 4 22 2 y 6 1 1 Oxy Dấu "" xảy ra xy 2; 3. Khi đó M 2;3;0 . Câu 12: Trong không gian Oxyz cho các điểm ABC(1;2;0), (1; 1;3), (1; 1; 1) . Xét M(;;) a b c thuộc mặt phẳng ()Oyz sao cho 2MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất. Giá trị của abc bằng A. 3. B. 7 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Gọi I là điểm thỏa mãn: 2IA IC IB 0 2( OA OI ) ( OC OI ) ( OB OI ) 0 . 2OA OC OB OI I 1;2; 2 . 2 22 2 2 Ta có 2MA2 2 MA 2 MI IA 2 MI 2 IA 4 MI . IA . 22 2 2 MB2 MB MI IB MI IB 2. MI IB . 22 2 2 MC2 MC MI IC MI IC 2. MI IC . Suy ra 2MA2 MB 2 MC 2 2 MI 2 2 IA 2 IC 2 IB 2 2 MI 2 IA IC IB . Suy ra 2MA2 MB 2 MC 2 2 MI 2 2 IA 2 IC 2 IB 2 . Do I cố định nên 2IA2 IC 2 IB 2 không đổi. Vậy 2MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất MI nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên .
6. xt 13 Đường thẳng qua I 1;2; 2 và vuông góc với P là: yt 23 . zt 22 x 1 3 t x 4 y 2 3 t y 1 Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ M 4; 1;0 . z 2 2 t z 0 3x 3 y 2 z 15 0 t 1 Suy ra abc 3. Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ABC 1;1; 1 , 1;2;0 , 3; 1; 2 . Giả sử M a;; b c thuộc mặt cầu S : x 1 22 y2 z 1 861 sao cho P 2 MA2 7 MB 2 4 MC 2 đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của T a b c là A. T 49. B. T 47. C. T 55 . D. T 51. Lời giải Chọn B Đề gốc là nhỏ nhất ! 2 2 2 Ta có P 2 MI IA 7 MI IB 4 MI IC . Gọi I là điểm thỏa 2IA 7 IB 4 IC 0 I 21;16;10 . 2 2 2 2 Khi đó P MI 2 IA 7 IB 4 IC . Để P đạt giá trị lớn nhất MImin . const Nhận xét IS . Do đó MImin  M I hay MT 21;16;10 47 . Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm M a;; b c thuộc mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 sao cho biểu thức T 2 a 3 b 6 c đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức P 2 a b c bằng 51 12 A. 6 . B. . C. . D. 8 . 7 7 Lời giải Chọn A x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 7 0 x 1 2 y 2 2 z 2 2 16 . M a; b ; c S a 1 2 b 2 2 c 2 2 16 . Ta có: 213262a b c 236.12 2 2 a 2 b 2 2 c 2 2 . 2a 3 b 6 c 20 28. 2a 3 b 6 c 20 28 . 2a 3 b 6 c 48.
7. 15 a 2a 3 b 6 c 48 7 2a 3 b 6 c 48 ab 1 2 26 Dấu "" xảy ra khi: 3a 2 b 1 b 2 3 7 31ac ac 1 2 38 c 2 6 7 15 26 38 Vậy P 2 a b c 2. 6. 7 7 7 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 5;3;1 , B 4; 1;3 , C 6;2;4 và D 2;1;7 . Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa 32MA MB MC MD MA MB là một mặt cầu S . Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu S . 42 3 1 14 2 21 A. I ;1; , R . B. I ;; , R . 33 3 3 3 3 3 14 8 21 8 10 1 3 C. I 1; ; , R . D. I ;; , R . 33 3 333 3 Lời giải Chọn C AB 4 5 2 1 3 2 3 1 2 21 . Gọi K x;; y z là điểm thỏa mãn điều kiện 3KA 2 KB KC KD 0. x 1 3 5 x 2 4 x 6 x 2 x 0 14 14 8 Suy ra: 3 3 y 2 1 y 2 y 1 y 0 y K 1; ; . 3 33 3 1 z 2 3 z 4 z 7 z 0 8 z 3 Ta lại có: 32MA MB MC MD MA MB 32 MK KA MK KB MK KC MK KD BA 3MK 3 KA 2 KB KC KD BA 30MK BA BA 21 3MK BA 3MK BA MK MK . 3 3 14 8 21 Từ đó tập hợp điểm M là mặt cầu S tâm IK 1; ; , bán kính R . 33 3 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A 2 t ;2 t ;0 , Bt 0;0; . cho điểm P di a động thỏa mãn OP. AP OP . BP AP . BP 3 . Biết rằng có giá trị t với ab, nguyên b
8. a dương và tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3. Khi đó giá trị của Q 2 a b b bằng A. 5 B. 13. C. 11. D. 9 . Lời giải Chọn C Gọi P x;; y z , ta có: OP x;; y z , AP x 2 t ; y 2 t ; z , BP x;; y z t Vì P x;; y z thỏa mãn OP. AP OP . BP AP . BP 3 3x2 3 y 2 3 z 2 4 tx 4 ty 2 tz 3 0 4 4 2 x2 y 2 z 2 tx ty tz 10 3 3 3 22t t t 2 Nên P thuộc mặt cầu tâm I ; ; , R t 1 3 3 3 Ta có OI t R nên O thuộc phần không gian phía trong mặt cầu. Để OPmax thì PIO,, thẳng hàng và OP OI R 2 Suy ra OPmax OI R 31 t t 4 Từ đó tìm được t Suy ra ab 4, 3 3 Vậy,Q 2 a b 11 22 Câu 17: Cho mặt cầu S : x 1 y 4 z2 8 và các điểm AB 3;0;0 , 4;2;1 . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu S . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA 2. MB ? A. 42 B. 62 C. 22 D. 32 IA 4 2 2 R Lời giải: Ta thấy cả A và B cùng nằm ngoài mặt cầu đồng thời . Mục đích cách giải là IB 30 tìm C sao cho MA 2 MC với mọi điểm M thuộc mặt cầu bằng cách sau: Lấy điểm C trên IA sao cho IM IC IM22 R R ICM và IMA đồng dạng với nhau tức là IC . IA IM IA R.2 2 Vậy IA 4 IC C 0;3;0 khi đó MA 2 MB 2 MB MC 2 BC 3 2 . Chọn đáp án D.