Đề kiểm tra cuối học kì I môn Toán 12 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra cuối học kì I môn Toán 12 (Có đáp án)

1. ĐỀ KIỂM TRA KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 – LỚP 12 CUỐI HK1 LỚP 12 Bài thi môn: TOÁN (Đề gồm có trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f ¢(x) 0," x Î (2;3). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f x đồng biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;3 . ( ) ( ) ( ) B. Hàm số y = f x nghịch biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;3 . ( ) ( ) ( ) C. Hàm số y = f x đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên khoảng 2;3 . ( ) ( ) ( ) D. Hàm số y = f x nghịch biến trên khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 2;3 . ( ) ( ) ( ) Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thoả mãn f ¢(x)> 0," x Î (0;1) và f ¢(x)< 0," x Î (1;2). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số f (x) đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2). B. Hàm số f (x) nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1;2). C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2). D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0;1) và đồng biến trên khoảng (1;2). Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị nḥư Hình 5. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. yCT = 1, yCÐ = 2 . B. yCT = 2, yCÐ = - 1 . C. yCT = - 2, yCÐ = 2 . D. yCT = 2, yCÐ = - 2 . Câu 4. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn a.d - b.c ¹ 0 . Đồ thị của hàm ax + b số y = có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: cx + d d a - d a A. x = ; y = B. x = ; y = c c c c - d b - b b C. . x = ; y = . D. x = ; y = . c d a d Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như Hình 8. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x)trên đoạn [- 2;2]. Phát biểu nào sau đây đúng? A. m= - 2,M = 2 B. m= 1,M = 3 C. m= 3,M = 1 D. m= - 1,M = 3 1
2. Câu 6. Cho hàm số y = f (x)có bảng biến thiên như sau Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. x = 1, y = 1. B. x = 1, y = 2. C. x = 2, y = 1. D. x = 2, y = 2. ax2 + bx + c Câu 7. Cho hàm số y = ,(ac ¹ 0)có đồ thị như Hình 7. Đường tiệm x cận xiên của đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng: A. Đường thẳng y = x . B. Đường thẳng y = - x . C. Đường thẳng x = 0.. D. Đường thẳng y = - 2x .. Câu 8. Cho tứ diện ABCD . Lấy G là trọng tâm của tam giác ABC . Phát biểu nào sau đây là sai? uur uur uur r uur uur uur uur r A. GA+ GB + GC = 0 . B. GA+ GB + GC + GD = 0 . uur uur uur uur uur uur uur C. GD- GA = AD . D. DA+ DB + DC = 3DG . uuur r r r Câu 9. Trong không gianOxyz , cho điểm M thỏa mãn OM = 2i + 3 j - 4k .Tọa độ của điểm M là A. (- 4 ;3 ;2). B. (2 ;3 ;- 4). C. (3 ;- 4 ;2). D. (- 2 ;- 3 ;4) r r r r Câu 10. Trong không gianOxyz , cho hai vectơ u = (3 ;2 ;- 1), v = (5 ;- 4 ;2). Tọa độ của vectơ u- v là: A. (- 2 ;6 ;- 3). B. (2 ;- 6 ;3). C. (- 2 ;- 2 ;- 3). D. (2 ;2 ;1) Câu 11. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu quần mới. Người phỏng vấn yêu cầu cho điểm mẫu quần đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày theo mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 4. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: Nhóm Tần số Tần số tích lũy A. 75. B. 70,8. [50;60) 3 3 C. 78,8. D. 74,8. [60;70) 5 8 [70;80) 25 33 [80;90) 4 37 90;100 3 40 Câu 12. Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 4. [ ) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là n= 40 A. 9,08 . B. 82,4375 . Bảng 4 C. 74,75. D. 50 . 2
3. PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Bảng 5 biều diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày. a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là 65 (nghìn đồng). b) Trung vị của mẫu số liệu trên là 66,8 (nghìn đồng). c) Tứ phân vị nhất Q1 của mẫu số liệu trên là 60,8 (nghìn đồng). d) Mốt của mẫu số liệu trên là 65 (nghìn đồng). Câu 2. Cho hàm số f (x)= x - sin2x a) f ¢(x)= 1+ 2cos2x . 1 b) f ¢(x)= 0 Û cos2x = - . 2 5p c) Trên đoạn [0;p] phương trình f ¢(x)= 0 có đúng một nghiệm . 6 5p 3 d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;p] là + . 6 2 Câu 3. Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch x (gam ) muối tinh khiết và được dung dịch có nồng độ f (x)%. 100(x + 200) a) Hàm số f (x)= . x + 30 b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng (0 ; + ∞). c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%. 3
4. d) Giới hạn của f (x) khi x dần đến dương vô cực bằng 100. z Câu 4. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu y a) Ra đa ở vị trí có toạ độ (0;0;0) x b) Vị trí A có toạ độ (300;200;10) Hình 2 c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1. Giả sử hàm số f (x)= x3 - 6x2 + 9x - 1 đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Giá trị của biểu thức A = 2a + b là bao nhiêu? Câu 2. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 3dm . Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài cạnh bằng x(dm), rồi gấp tấm nhôm lại như Hình 2 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó tính theo x(dm). Giá trị lớn nhất của V là bao nhiêu decimét khối? 26t + 10 Câu 3. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức f (t)= ( t + 5 f (t) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem y = f (t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0;+ ¥ ). Đồ thị hàm số y = f (t) có đường tiệm cận ngang là y = a . Giá trị của a là bao nhiêu? 4
5. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD×A¢B¢C ¢D¢. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của A¢D¢ và C ¢D¢. Gọi j là góc uuur uuur giữa hai vectơ MN và A¢B . Số đo của góc j bằng bao nhiêu độ? Câu 5. Trong 18 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)= - t 3 + 18t 2 + t + 3 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu mét trên giây trong 18 giây đầu tiên đó? Câu 6. Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí A cách vị trí điều khiển 150 m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50 m . Flycam II ở vị trí B cách vị trí điều khiển 180 m về phía bắc và 240 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60 m . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )? 5
6. ĐÁP ÁN PHẦN I (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Chọn D C D B D C D B B A D B PHẦN II Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm. ￿Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm. Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: a) S a) S a) S a) S b) Đ b) S b) S b) S c) Đ c) S c) Đ c) Đ d) S d) Đ d) Đ d) S PHẦN III. (Mỗi câu trả lời Đúng thí sinh Được 0,5 Điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 Chọn 5 2 26 .60. 109 550 LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f ¢(x) 0," x Î (2;3). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f x đồng biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;3 . ( ) ( ) ( ) B. Hàm số y = f x nghịch biến trên cả hai khoảng 1;2 và 2;3 . ( ) ( ) ( ) C. Hàm số y = f x đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên khoảng 2;3 . ( ) ( ) ( ) D. Hàm số y = f x nghịch biến trên khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 2;3 . ( ) ( ) ( ) Lời giải Chọn D Vì f ¢ x 0 " x Î 2;3 nên hàm số y = f x nghịch biến trên khoảng 1;2 và đồng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) biến trên khoảng (2;3). 6
7. Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thoả mãn f ¢(x)> 0," x Î (0;1) và f ¢(x)< 0," x Î (1;2). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số f (x) đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2). B. Hàm số f (x) nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1;2). C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2). D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0;1) và đồng biến trên khoảng (1;2). Lời giải Chọn C Vì f ¢ x > 0," x Î 0;1 và f ¢ x < 0," x Î 1;2 nên hàm số y = f x nghịch biến trên khoảng 1;2 và đồng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) biến trên khoảng (2;3). Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị nḥư Hình 5. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. yCT = 1, yCÐ = 2 . B. yCT = 2, yCÐ = - 1 . C. yCT = - 2, yCÐ = 2 . D. yCT = 2, yCÐ = - 2 . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị cực đại của hàm số là yCÐ = - 2 , giá trị cực tiểu của hàm số là yCT = 2. ax + b Câu 4. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn a.d - b.c ¹ 0 . Đồ thị của hàm số y = có đường cx + d tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: d a - d a A. x = ; y = B. x = ; y = c c c c - d b - b b C. x = ; y = D. x = ; y = . c d a d Lời giải Chọn B ax + b ïì dïü Ta có y = có TXĐ là R \íï - ýï cx + d îï c þï ax + b - d +) . lim = ¥ .. Vậy TCĐ là x = . ± æ- dö x® ç ÷ cx + d c èç c ø÷ ax + b a a +) lim = . Vậy TCN là y = x® ± ¥ cx + d c c 7
8. Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như Hình 8. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x)trên đoạn [- 2;2]. Phát biểu nào sau đây đúng? A. m= - 2,M = 2 B. m= 1,M = 3 C. m= 3,M = 1 D. m= - 1,M = 3 Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: m= - 1 M = 3 Câu 6. Cho hàm số y = f (x)có bảng biến thiên như sau Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. x = 1, y = 1. B. x = 1, y = 2. C. x = 2, y = 1. D. x = 2, y = 2. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: lim f (x)= 1Þ y = 1 là một tiệm cận ngang x® - ¥ lim f (x)= 1Þ y = 1là một tiệm cận ngang x® + ¥ lim f (x)= - ¥ Þ x = 2 là một tiệm cận đứng x® 2- ax2 + bx + c Câu 7. Cho hàm số y = ,(ac ¹ 0)có đồ thị như Hình 7. x Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng: A. Đường thẳng y = x . B. Đường thẳng y = - x . C. Đường thẳng x = 0.. D. Đường thẳng y = - 2x .. Lời giải Chọn D 8
9. c Do lim [y - ax + b]= lim = 0nên đường thẳng (d): y = ax + blà tiện cận xiên của đồ thị hàm số x® + ¥ x® + ¥ x đã cho. ïì a = - 2 Vì (d) đi qua O(0;0) và A(2;- 4) nên íï . Vậy đường thăng (d) có dạng . y = - 2x îï b = 0 Câu 8. Cho tứ diện ABCD . LấyG là trọng tâm của tam giác ABC . Phát biểu nào sau đây là sai? uur uur uur r uur uur uur uur r A. GA+ GB + GC = 0 . B. GA+ GB + GC + GD = 0 . uur uur uur uur uur uur uur C. GD- GA = AD . D. DA+ DB + DC = 3DG . Lời giải Chọn B uur uur uur r Tính chất trọng tâm: GA+ GB + GC = 0 . Câu B chỉ đúng khi G là tâm tứ diện ABCD . uuur r r r Câu 9. Trong không gianOxyz , cho điểm M thỏa mãn OM = 2i + 3 j - 4k .Tọa độ của điểm M là A. (- 4 ;3 ;2). B. (2 ;3 ;- 4). C. (3 ;- 4 ;2). D. (- 2 ;- 3 ;4) Lời giải Chọn B Với r ì ï i = (1;0;0) ï r íï j = (0;1;0) ï r ï k = 0;0;1 îï ( ) uuur r r r Khi đó OM = 2i + 3 j - 4k = (2;3;- 4) . r r r r Câu 10. Trong không gianOxyz , cho hai vectơ u = (3 ;2 ;- 1), v = (5 ;- 4 ;2). Tọa độ của vectơ u- v là: A. (- 2 ;6 ;- 3). B. (2 ;- 6 ;3). C. (- 2 ;- 2 ;- 3). D. (2 ;2 ;1) Lời giải Chọn A r r u- v = (3- 5;2- - 4;- 1- 2)= (- 2;6;- 3). Câu 11. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu quần mới. Người phỏng vấn yêu cầu cho điểm mẫu quần đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày theo mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 4. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: Nhóm Tần số Tần số tích lũy [50;60) 3 3 [60;70) 5 8 [70;80) 25 33 9
10. A. 75. B. 70,8. [80;90) 4 37 C. 78,8. D. 74,8. [90;100) 3 40 n= 40 Bảng 4 Giải n 40 Số phần tử của mẫu là n= 40. Ta có: = = 20 mà 8< 20< 33. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số 2 2 tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20. Xét nhóm 3 có r = 70; d = 10; n3 = 25 và nhóm 2 có cf2 = 8 . æ ö ç20- 8÷ Trung vị của mẫu số liệu đó là: Me = 70+ ç ÷.10= 74,8 . Chọn D. èç 25 ø÷ Câu 12. Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng 4. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là A. 9,08 . B. 82,4375 . C. 74,75. D. 50 . Lời giải Chọn B Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là 3.55+ 5.65+ 25.75+ 4.85+ 3.95 x = = 74,75. 40 Phương sai của mẫu số liệu đó là: 2 2 2 2 2 3(55- 74,75) + 5(65- 74,75) + 25(75- 74,75) + 4(85- 74,75) + 3(95- 74,75) s2 = = 82,4375 40 PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Bảng 5 biều diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày. a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là 65 (nghìn đồng). b) Trung vị của mẫu số liệu trên là 66,8 (nghìn đồng). 10
11. c) Tứ phân vị nhất Q1 của mẫu số liệu trên là 60,8 (nghìn đồng). d) Mốt của mẫu số liệu trên là 65 (nghìn đồng). Lời giải a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 5.45+ 8.55+ 25.65+ 20.75+ 2.85 x = = 66 (nghìn đồng) 60 n 60 b) Số phần tứ của mẫu là n= 60 . Ta có: = = 30 mà 13< 30< 38. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có 2 2 tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30 . Xét nhóm 3 có r = 60 ; d = 10; n3 = 25 và nhóm 2 có cf2 = 13. æ ö ç30- 13÷ Trung vị của mẫu số liệu đó là: Me = 60+ ç ÷×10= 66,8 (nghìn đồng). èç 25 ø÷ n 60 c) Ta có: = = 15 mà13< 15< 38 . Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 4 4 15 . Xét nhóm 3 có r = 60; d = 10; n3 = 25 và nhóm 2 có cf2 = 13. æ ö ç15- 13÷ Tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu đó là: Q1 = 60+ ç ÷×10= 60,8 (nghìn đồng). èç 25 ø÷ d) Ta thấy nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất với u = 60; g = 10; n3 = 25. Nhóm 2 có tần số n2 = 8 , nhóm 4 có tần số n4 = 20 . æ ö ç 25- 8 ÷ Mốt của mẫu số liệu đó là: Mo = 60+ ç ÷×10 » 68 (nghìn đồng). èç2×25- 8- 20ø÷ Câu 2. Cho hàm số f (x)= x - sin2x a) f ¢(x)= 1+ 2cos2x . 1 b) f ¢(x)= 0 Û cos2x = - . 2 5p c) Trên đoạn [0;p] phương trình f ¢(x)= 0 có đúng một nghiệm . 6 5p 3 d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;p] là + . 6 2 Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S S S Đ Ta có: f ¢(x)= 1- 2cos2x. 1 f ¢(x)= 0 Û 1- 2cos2x = 0 Û - 2cos2x = - 1 Û cos2x = . 2 p p Û 2x = ± + 2kp Û x = ± + kp(k Î ¢). 3 6 11
12. é p êx = ê 6 Với x Î [0;p] thì phương trình f ¢(x)= 0 có nghiệm ê . ê 5p êx = ëê 6 Trên đoạn[0;p]: x = 0Þ y = 0 ; p p 3 x = Þ y = - ; 6 6 2 5p 5p 3 x = Þ y = + ; 6 6 2 x = p Þ y = p. 5p 3 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;p] là + . 6 2 Vậy a) S, b) S, c) S, d) Đ. Câu 3. Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch x (gam ) muối tinh khiết và được dung dịch có nồng độ f (x)%. 100(x + 200) a) Hàm số f (x)= . x + 30 b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng (0 ; + ∞). c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%. d) Giới hạn của f (x) khi x dần đến dương vô cực bằng 100. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S S Đ Đ 15 a) Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15% có 200. = 30 (gam) muối tinh khiết. Khi thêm x 100 (gam) muối tinh khiết vào 200 gam dung dịch muối nồng độ 15% thì có (x + 30) (gam ) muối tinh khiết. Khi đó, ta có hàm số là 100(x + 30) f (x)= . Suy ra a) sai. x + 200 17000 b) Ta có f '(x)= 2 > 0," x Î (0;+ ¥ ). Suy ra b) sai. (x + 200) c) Vì f (x) đồng biến trên khoảng ( 0;+ ¥ ) nên khi x tăng thì f (x) tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng. x + 30 100(x + 30) Vì x + 30< x + 200 với mọi x Î (0;+ ¥ ) nên < 1 dẫn đến f (x)= < 100. Nghĩa là nồng x + 200 x + 200 độ phần trăm không vượt quá 100% khi cho thêm nhiều gam muối tinh khiết vào. Suy ra c) đúng. 12
13. d) Ta có : 100(x + 30) lim f (x)= lim = 100. Suy ra d) đúng. x® + ¥ x® + ¥ x + 200 z Câu 4. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu y a) Ra đa ở vị trí có toạ độ (0;0;0) b) Vị trí A có toạ độ (300;200;10) x Hình 2 c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A Lời giải Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có toạ độ (0;0;0,08); điểm A(- 300;- 200;10) Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là: 2 2 2 (- 300- 0) + (- 200- 0) + (10- 0,08) » 360,69 (km). Vì 360,69< 500 nên ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đáp án: a)S, b)S, c)Đ, d)S PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1. Giả sử hàm số f (x)= x3 - 6x2 + 9x - 1 đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Giá trị của biểu thức A = 2a + b là bao nhiêu? Lời giải Trả lời: A = 5 Ta có: f ¢(x)= 3x2 - 12x + 9 , f ¢(x)= 0 Û x = 1, x = 3 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3 nên suy ra a = 1, b = 3. Vậy A = 2a + b = 5 13
14. Câu 2. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 3dm . Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài cạnh bằng x(dm), rồi gấp tấm nhôm lại như Hình 2 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó tính theo x(dm). Giá trị lớn nhất của V là bao nhiêu decimét khối? Lời giải Ta thấy độ dài x(dm) của cạnh hình vuông bị cắt thoả mãn điều kiện 0< x < 1,5. 2 Thể tích của khối hộp là V (x)= x(3- 2x) với 0< x < 1,5. Ta phải tìm x0 Î (0;1,5) sao cho V (x0 ) có giá trị lơn nhất. 2 Ta có: V ¢(x)= (3- 2x) - 4x(3- 2x)= (3- 2x)(3- 6x)= 3(3- 2x)(1- 2x). Trên khoảng (0;1,5),V ¢(x)= 0 khi x = 0,5 . Báng biến thiên của hàm số V (x) như sau: Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0;1,5), hàm số V (x) đạt giá trị lón nhất bằng 2 tại x = 0,5 . Vây giá trị lớn nhất của V là 2dm3 . 26t + 10 Câu 3. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức f (t)= ( t + 5 f (t) được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem y = f (t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0;+ ¥ ). Đồ thị hàm số y = f (t) có đường tiệm cận ngang là y = a . Giá trị của a là bao nhiêu? Lời giải Trả lời: 26 14
15. 26t + 10 Ta có: lim f (t)= lim = 26. Nên đồ thị hàm số f (t) có đường tiệm cận ngang là y = 26 . Vậy t® + ¥ t® + ¥ t + 5 a = 26. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD×A¢B¢C ¢D¢. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của A¢D¢ và C ¢D¢. Gọi j là góc uuur uuur giữa hai vectơ MN và A¢B . Số đo của góc j bằng bao nhiêu độ? Lời giải (Hinh 5) Trả lời: 60° uuur uuur uuur uuur (Hinh 5). Vì MN / /A¢C ¢ nên (MN, A¢B)= (A¢C ¢, A¢B)= C·¢A¢B . Tam giác C ¢A¢B¢ là tam giác đều vì ABCD.A¢B¢C ¢D¢ ' là hình lập phương. Suy ra C·¢A¢B = 60° . uuur uuur uuuuur Vậy (MN, A¢B)= C ¢A¢B = 60° . Câu 5. Trong 18 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)= - t 3 + 18t 2 + t + 3 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu mét trên giây trong 18 giây đầu tiên đó? Lời giải Trả lời: 109 Ta có vận tốc tức thời là s¢(t)= - 3t 2 + 36t + 1 . Lập bảng biến thiên của hàm số s¢(t) ta có vận tốc tức thời đạt giá trị lớn nhất bằng 109 m/s. Câu 6. Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí A cách vị trí điều khiển 150 m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50 m . Flycam II ở vị trí B cách vị trí điều khiển 180 m về phía bắc và 240 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60 m . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy trùng với hướng đông, trục Oz vuông 15
16. góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )? Lời giải Trả lời: 550( m ) Ta có: Vị trí A,B có tọa độ lần lượt là: (150;200;50),(- 180;- 240;60) . Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng: AB = (- 180- 150)2 + (- 240- 200)2 + (60- 50)2 » 550( m). 16