Đề kiểm tra cuối học kì I môn Toán học Lớp 12 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra cuối học kì I môn Toán học Lớp 12 (Có đáp án)

1. SẢN PHẨN MẪU ĐỀ KIỂM TRA KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 – LỚP 12 CUỐI HK1 LỚP 12 Bài thi môn: TOÁN (Đề gồm có trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu y f x như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên 1;1 . B. Hàm số nghịch biến trên 1; . C. Hàm số đồng biến trên ; 1 . D. Hàm số đồng biến trên 1;1 . Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu y f x như hình vẽ Phát biểu nào sau đây là sai? A. Hàm số có hai điểm cực tiểu. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 . C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn  3;3 như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;0 . B. 1;3 . C. 0;2 . D. 3; 1 . x 2 Câu 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 2. D. x 2. 1
2. Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 bằng A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. Câu 6. Cho hàm số y f (x) xác định trên R \ 1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận ngang? A. 0 B. 1. C. 2 . D. 4 . ax2 bx c Câu 7. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. mx n Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là A. x 2 . B. y x 2 . C. y x 1. D. y x 1 uuur uuur Câu 8. Trong không gian, cho tứ diện ABCD . Ta có AB+ CD bằng uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur A. AD+ BC . B. DA+ CB . C. DA+ BC . D. AD+ CB . 2
3. uur Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 . Toạ độ O A là 3;0;0 3; 4;0 0; 4;0 0;0;0 A. . B. . C. . D. .  Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 . Vectơ AB có tọa độ là 1; 1; 3 3;1;1 1;1;3 3;3; 1 A. . B. . C. . D. . Câu 11. Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. R = 5. B. R = 24 . C. R = 25. D. R = 10 . Câu 12. Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là A. 6,8 .B. 7,3. C. 3,3 . D. 46,1. PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Khối lượng của 30 củ khoai tây được thu hoạch ở một nông trại được thống kê như bảng sau: Lớp khối lượng Giá trị đại diện Tần số Tần số tích lũy (gam) 70;80 75 3 3 80;90 85 6 9 90;100 95 12 21 100;110 105 6 27 110;120 115 3 30 n 30 3
4. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50 . b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 10. c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 90 . d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 120. x2 2x 6 Câu 2. Cho hàm số f x . x 1 a) Hàm số f x có tập xác định là ¡ . x2 2x 8 b) Hàm số f x có đạo hàm f x . x 1 2 c) Hàm số f x có giá trị cực đại bằng 2. d) Hàm số y f x2 2 có 3 điểm cực trị. 3 2 Câu 3. Cho hàm số y f (x) x 6x 9x 1. a) Phương trình f ' x 0 có nghiệm x 1 hoặc x 3. f ' x 0 x 1;3 f ' x 0 x ;1  3; b) khi , khi . c) Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 và yCT 1. d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình sau Câu 4. Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong M x; y; z đó gốc O là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và (km) biểu thị vị trí máy bay trên không 50;120;4 v 300;400;3 trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí và chuyển động với vận tốc (km/h). 4
5. a) Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1km). b) Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8km. c) Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình F có tọa độ 1250;1020;0 xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).  d) Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là v2 400;300; 5 để hướng đến sân bay B . Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay B là 1450;1520;0 . PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1. Giả sử hàm số f (x)= x3 - 6x2 + 9x - 1 đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Giá trị của biểu thức A = 2a + b là bao nhiêu? Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 6x2 3 trên đoạn  2;3 bằng bao nhiêu? Câu 3. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C x 150x 900 (nghìn đồng). Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không vượt quá t (nghìn đồng). Tìm giá trị của t . Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên đoạn AC và C D sao cho, 1 2     DN DC , AM AC . Khi phân tích BN x.BA y.BC z.BB thì giá trị x y z bằng bao nhiêu? 3 3 Câu 5. Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Câu 6. Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu MN bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh A'C , điểm cuối thuộc cạnh BC ') và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí các điểm M và N sao cho MN ngắn nhất (Gợi ý: đoạn thẳng nối hai đường ngắn nhất chính là đường vuông góc chung). Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tiền? (Số tiền làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính bằng tỉ đồng) 5
6. ĐÁP ÁN ĐỀ MẪU PHẦN I (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Chọn D B D A A C D D B C C A PHẦN II Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm. ￿Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm. ￿Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm. Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: a) Đ a) S a) S a) Đ b) S b) Đ b) S b) S c) S c) Đ c) Đ c) S d) Đ d) Đ d) Đ d) Đ PHẦN III. (Mỗi câu trả lời Đúng thí sinh Được 0,5 Điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 Chọn 26 - 29 150 2 15,7 671 LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu y f x như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên 1;1 . B. Hàm số nghịch biến trên 1; . C. Hàm số đồng biến trên ; 1 . D. Hàm số đồng biến trên 1;1 . Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, trên 1;1 ta có y 0 nên hàm số đồng biến. 7
7. Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu y f x như hình vẽ Phát biểu nào sau đây là sai? A. Hàm số có hai điểm cực tiểu. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 . C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Lời giải Chọn B Dựa vào dấu của đạo hàm, ta suy ra • Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 nên giá trị cực tiểu tương ứng bằng 0 . • Hàm số đạt cực đại tại x 0 nên giá trị cực đại tương ứng bằng 3. • Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 nên giá trị cực tiểu tương ứng bằng 0 . Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn  3;3 như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;0 . B. 1;3 . C. 0;2 . D. 3; 1 . Lời giải Chọn D Ta thấy đồ thị đi lên từ trái sang phải trên khoảng 3; 1 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 3; 1 . x 2 Câu 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 2. D. x 2. Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ \ 1 . 8
8. x 2 Ta có: lim f x lim . x 1 x 1 x 1 x 2 lim f x lim . x 1 x 1 x 1 Vậy đường thẳng x 1là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 bằng A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A Xét hàm số y f x trên đoạn  1;3 . Dựa vào đồ thị ta có max f x f 3 3.  1;3 Câu 6. Cho hàm số y f (x) xác định trên R \ 1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận ngang? A. 0 B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: • lim f (x)= - 2Þ y = - 2là một tiệm cận ngang. x® - ¥ • lim f (x)= 2Þ y = 2là một tiệm cận ngang. x® + ¥ 9
9. ax2 bx c Câu 7. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. mx n Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là A. x 2 . B. y x 2 . C. y x 1. D. y x 1 Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đường thẳng y x 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. uuur uuur Câu 8. Trong không gian, cho tứ diện ABCD . Ta có AB+ CD bằng uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur A. AD+ BC . B. DA+ CB . C. DA+ BC . D. AD+ CB . Lời giải Chọn D Theo quy tắc ba điểm, ta có: uuur uuur uuur AB = AD+ DB Do đó: uuur uuur uuur uuur uuur AB+ CD= AD+ DB+ CD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur = AD+ ( DB+ CD) = AD+ ( CD+ DB)= AD+ CB . uur Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 . Toạ độ O A là 3;0;0 3; 4;0 0; 4;0 0;0;0 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B  Theo định nghĩa tọa độ véc-tơ, ta suy ra OA 3; 4;0 .  Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 . Vectơ AB có tọa độ là 1; 1; 3 3;1;1 1;1;3 3;3; 1 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C  Ta có AB 1;1;3 . Câu 11. Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau 10
10. Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. R = 5. B. R = 24 . C. R = 25. D. R = 10 . Lời giải Chọn C Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 175- 150 = 25 (g). Câu 12. Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là A. 6,8 .B. 7,3.C. 3,3 . D. 46,1. Lời giải Chọn A Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: 4.42,5 14.47,5 8.52,5 10.57,5 6.62,5 2.67,5 585 x . 44 11 Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: 2 2 2 2 585 585 585 585 4 42,5 14 47,5 8 52,5 10 57,5 11 11 11 11 s2 44 2 2 585 585 6 62,5 2. 67,5 11 11 46,12. 44 Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s s2 46,12 6,8 . PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Khối lượng của 30 củ khoai tây được thu hoạch ở một nông trại được thống kê như bảng sau: 11
11. Lớp khối lượng Giá trị đại diện Tần số Tần số tích lũy (gam) 70;80 75 3 3 80;90 85 6 9 90;100 95 12 21 100;110 105 6 27 110;120 115 3 30 n 30 a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50 . b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 10. c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 90 . d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 120. Lời giải a) Đúng Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: R 120 70 50. b) Sai Số phần tử của mẫu là n 30 . n 30 Ta có: 7,5 mà 3 7,5 9 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc 4 4 bằng 7,5. Xét nhóm 2 là nhóm 80;90 có s 80;h 10;n2 6 và nhóm 1 là nhóm 70;80 có cf1 3. 7,5 3 Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: Q1 80 .10 87,5 gam . 6 3n 3.30 Ta có: 22,5 mà 21 22,5 27 . Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn 4 4 hoặc bằng 22,5. Xét nhóm 4 là nhóm 100;110 có t 100;l 10;n4 6 và nhóm 3 là nhóm 90;100 có cf3 21. 22,5 21 Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: Q3 100 .10 102,5 gam . 6 Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: Q Q3 Q1 102,5 87,5 15 . c) Sai Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm 3.75 6.85 12.95 6.105 3.115 x 95 gam 30 . d) Đúng Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: 1 2 2 2 2 2 s2 3. 75 95 6. 85 95 12. 95 95 6. 105 95 3. 115 95 120 30 . x2 2x 6 Câu 2. Cho hàm số f x . x 1 a) Hàm số f x có tập xác định là ¡ . 12
12. x2 2x 8 b) Hàm số f x có đạo hàm f x . x 1 2 c) Hàm số f x có giá trị cực đại bằng 2. d) Hàm số y f x2 2 có 3 điểm cực trị. Lời giải a) Sai. x2 2x 6 Hàm số f x xác định khi x 1 0 x 1. x 1 Do đó hàm số f x có tập xác định là ¡ \ 1 . b) Đúng. 2 2 x 2x 6 x 1 x 2x 6 x 1 x2 2x 8 Ta có f x . x 1 x 1 2 c) Đúng. x2 2x 8 x 2 2 Ta có f x 0 2 0 x 2x 8 0 . x 1 x 4 Bảng biến thiên: Vậy hàm số f x có giá trị cực đại bằng 2. d) Đúng. Hàm số y f x2 2 xác định khi x2 2 1 x 1 Tập xác định D ¡ \ 1 . Ta có y 2xf x2 2 . x 0 x 0 2x 0 x 0 y 0 x2 2 2 x2 4 f x2 2 0 x 2; x 2 2 2 x 2 4 x 2 VN Bảng biến thiên: Vậy hàm số y f x2 2 có 3 điểm cực trị. 3 2 Câu 3. Cho hàm số y f (x) x 6x 9x 1. a) Phương trình f ' x 0 có nghiệm x 1 hoặc x 3. f ' x 0 x 1;3 f ' x 0 x ;1  3; b) khi , khi . 13
13. c) Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 và yCT 1. d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình sau Lời giải a) Sai. Ta có: f ' x 3x2 12x 9 và f ' x 0 x 1 hoặc x 3. b) Sai. Bảng biến thiên: Khi đó, f ' x 0 khi x 1;3 , f ' x 0 khi x ;1  3; . c) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại x 3, yCT 1. d) Đúng. Câu 4. Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong M x; y; z đó gốc O là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và (km) biểu thị vị trí máy bay trên không 50;120;4 v 300;400;3 trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí và chuyển động với vận tốc (km/h). 14
14. a) Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1km). b) Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8km. c) Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình F có tọa độ 1250;1020;0 xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).  d) Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là v2 400;300; 5 để hướng đến sân bay B . Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay B là 1450;1520;0 . Lời giải a) Đúng  OM 50;120;4 OM 502 1202 42 130,06 . Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 8h xấp xỉ 130km. b) Sai  Ta có OM v 350;520;7 . Tại thời điểm 9h, tọa độ của máy bay là M1 350;520;7 . Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km. c) Sai  Ta có OM 2v 650;920;10 . Tại thời điểm 10h, tọa độ của máy bay là M 2 650;920;10 .  2 2 2 Ta có: M 2 F 600;100;10 M 2 F 600 100 10 608,36 . Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình F xấp xỉ 600km. d) Đúng Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.   Ta có: OM 2 2v2 1450;1520;0 . Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là M 3 1450;1520;0 . PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. t3 Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t 18t 2 35t 10, trong đó t tính bằng giây 3 và s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian a;b . Tính giá trị của biểu thức P 2b 3a . 15
15. Lời giải Vận tốc tức thời của chất điểm là v t s t t 2 36t 35 . Gia tốc tức thời của chất điểm là a t v t 2t 36 . Vì vận tốc tức thời của chất điểm giảm nên a t 0 2t 36 0 t 18. Do đó, trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian 18;40 . Suy ra a 18 , b 40 . Vậy P 2b 3a 26 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 6x2 3 trên đoạn  2;3 bằng bao nhiêu? Lời giải Xét hàm số y x3 6x2 3 trên đoạn  2;3 . Ta có y 3x2 12x 2 x 4  2;3 y 0 3x 12x 0 x 0 Mà y 2 29; y 0 3; y 3 24 . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 6x2 3 trên đoạn  2;3 bằng 29. Câu 3. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C x 150x 900 (nghìn đồng). Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không vượt quá t (nghìn đồng). Tìm giá trị của t . Lời giải C x 150x 900 Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là f x . x x Ta có 900 f x 2 0, x 0 • x . 150x 900 lim f x lim 150 • x x x . Bảng biến thiên Vậy khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 150 nghìn đồng. 16
16. Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên đoạn AC và C D sao cho, 1 2     DN DC , AM AC . Khi phân tích BN x.BA y.BC z.BB thì giá trị x y z bằng bao nhiêu? 3 3 Lời giải A' D' B' C' N A D M B C 1   Ta có: DN DC NC 2 ND NC 2ND . 3    BC 2BD Suy ra điểm N chia đoạn thẳng DC theo tỉ số k 2 . Do đó BN 3  1  2   1   2    2   1  hay BN BC BD BN BB BC BA BC BN BA BC BB . 3 3 3 3 3 3 Vậy x y z 2 . Câu 5. Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Lời giải Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x (m) ( 0 x 28 ). Suy ra chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 x (m ). Khi đó 2 x x2 • Diện tích hình vuông là: . 4 16 28 x • Bán kính hình tròn là: R = . 2 2 2 2 28 x 784 56x x Do đó, diện tích hình tròn là: R . . 2 4 2 2 x 784 56x x 4 2 14 196 Khi đó Tổng diện tích hai hình là: x x . 16 4 16 4 2 14 196 Xét hàm số bậc hai f (x) x x với 0 x 28 . 16 17
17. b 14 16 112 Nhận thấy f (x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x . . 2a 2 4 4 Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đạt giá trị nhỏ nhất là 112 15,7 m . 4 Câu 7. Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu MN bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh A'C , điểm cuối thuộc cạnh BC ') và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí các điểm M và N sao cho MN ngắn nhất (Gợi ý: đoạn thẳng nối hai đường ngắn nhất chính là đường vuông góc chung). Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tiền? (Số tiền làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính bằng tỉ đồng) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O là trung điểm của BC ).  Ta có: A 0; 150 3;300 , B 150;0;0 , C 150;0;0 , C 150;0;300 , CA 150; 150 3;300 ,  BC 300;0;300 .   CM mCA Gọi m,n thỏa mãn   ta có M 150 150m; 150 3m;300m , N 150 300n;0;300n . BN nBC  MN 150m 300n 300;150 3m;300n 300m . Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của A C và BC nên 2   m MN.CA 0 4m n 1 5    MN 60;60 3;60 MN 60 5 . m 4n 2 3 MN.BC 0 n 5 Số tiền xây cầu là: T 60 5.5 671tỉ đồng. 18