Đề kiểm tra cuối học kì I Toán học 12 (Có đáp án)
20 trang
10/01/2026
490
Bạn đang xem tài liệu "Đề kiểm tra cuối học kì I Toán học 12 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- de_kiem_tra_cuoi_hoc_ki_i_toan_hoc_12_co_dap_an.docx
Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra cuối học kì I Toán học 12 (Có đáp án)
- SẢN PHẨN ĐỀ KIỂM TRA KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 – LỚP 12 CUỐI HK1 LỚP 12 Bài thi môn: TOÁN (Đề gồm có trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ BÀI DẠNG THỨC 1. Câu 1. [TD1.2-MĐ1](cho BBT, hỏi khoảng đb,nb) Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 .D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 2. [TD1.2-MĐ1](cho BBT, hỏi GTLN, GTNN) Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 5;7 như hình vẽ bên Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên 5;7. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. M 7 , m 5 .B. M 6, m 2 .C. M 9, m 2 . D. M 9, m 0 . Câu 3. [TD1.3-MĐ2](Tìm min, max của hàm phần thức trên đoạn cho trước) Gọi M , m theo thứ tự lần x2 3 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn [ 2;0]. Tính P M m . x 1 13 A. P 1.B. P 3 .C. P .D. P 5 . 3 2x 3 Câu 4. [TD1.2-MĐ1](Tìm TCĐ, TCN của hàm nhất biến) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 4 x đường thẳng có phương trình: 1 A. x 2.B. x 4.C. x 4 .D. x . 2 1
- Câu 5. [GQ1.4-MĐ2](cho TCN, TCĐ, chọn đồ thị) Đồ thị hàm số nào sau đây có phương trình đường tiệm cận đứng là x 3 ? 2x 3 x2 1 2024 2x A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 3 x 3 x2 4 ax2 bx c Câu 6. [GQ1.2-MĐ2](cho đồ thị hàm b2/b1, chọn hàm số) Cho đồ thị hàm số y với a 0 , mx n m 0 như hình bên Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số nào sau đây? x2 2x 2 x2 x 1 x2 3x 4 x2 x 1 A. y .B. y .C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 7. [TD1.2-MĐ1](cho đồ thị hàm bậc 3, chọn hàm số) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào? x2 1 A. y x2 x 1. B. y x3 3x 1. C. y . D. y x3 3x 1. x Câu 8. [TD1.2-MĐ1](véctơ và các phép toán trong không gian chưa có tọa độ) Cho hình hộp ABCD.EFGH như hình bên Véctơ tổng CB CD CG bằng véctơ nào dưới đây? A. CA . B. CE . C. CH . D. CF . 2
- Câu 9. [TD1.1-MĐ1](tọa độ của véctơ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 . Tọa độ của véctơ AB là A. 1; 1; 3 . B. 3;1;1 . C. 1;1;3 . D. 3;3; 1 . Câu 10. [TD1.1-MĐ1](biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ) Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a 1;2;3 và b 2;2; 1 . Tọa độ của véctơ d a 2b là A. d 5;6;1 . B. d 6;5;1 . C. d 5;6;3 . D. d 5;6; 4 . Câu 11. [TD1.1-MĐ1](Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm) Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau: Cân nặng (g) 150;155 155;160 160;165 165;170 170;175 Số quả táo 4 7 12 6 2 Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là. A. R = 5 .B. R = 24 .C. R = 25.D. R = 10 . Câu 12. [TD1.2-MĐ2](Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm) Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối (đơn vị: phút) của một số học sinh được thống kê ở bảng sau: Thời gian 10,5;12,5 12,5;14,5 14,5;16,5 16,5;18,5 18,5;20,5 Số học sinh 3 12 15 24 2 Phương sai của mẫu số liệu trên là: A. s2 4,87 . B. s2 2,87 . C. s2 1,87 . D. s2 3,87 . DẠNG THỨC 2. Câu 1. [GQ2.1-MĐ1.1.2.2](cho hàm b3, hỏi quy trình khảo sát hàm số) Cho hàm số y x3 3x2 9x 15 . a) Tập xác định là ¡ . b) Đạo hàm của hàm số đã cho là y 3x2 6x 9 . c) Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . d) Hàm số đạt cực đại tại x 1. Câu 2. [GQ2.1-MĐ2.2.3.2](cho hàm phân thức, hỏi quy trình khảo sát và vẽ đồ thị) Cho hàm số x2 2x 5 y . x 1 x2 2x 3 a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y . x 1 2 b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y x 1. 3
- c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y x 2 . d) Đồ thị của hàm số có hình vẽ như sau Câu 3. [GQ2.1-MĐ2.2.2.2](Quy trình tính toán biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ) Trong không gian Oxyz , cho x 4;0; 3 và y 1; 2; 5 . a) 3x 12;0; 9 và 2y 2;4; 10 . b) 3x 2y 10;4;19 và 3x 2y 14; 4; 19 . c) x 3x 2y 151. d) 3x 2y 3x 2y 105 . Câu 4. [GQ2.1-MĐ2](Quy trình tính tứ phân vị) Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho bằng 400 mm. 1880 b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 2880 c) Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 1000 d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 DẠNG THỨC 3. Câu 1. [MH2.1-MĐ3](min, max trong hình học) Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6dm . Ông X cắt bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài bằng x dm , rồi gập tấm nhôm lại như hình bên dưới để được một cái hộp có dạng khối hộp chữ nhật không có nắp. 4
- Tìm x để thể tích của khối hộp chữ nhật lớn nhất. Câu 2. [MH2.1-MĐ3](min, max trong hình học) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 4 cm, các kích thước khác là x , y với x 0 và y 0. Biết rằng dùng ít nhất vật liệu khi kích thước của hộp là x a , y b. Giá trị của biểu thức P a2 b2 bằng bao nhiêu? Câu 3. [MH2.1-MĐ3](min, max trong kinh tế) Một cửa hàng bán quả vải thiều của Bắc Giang với giá bán là 40000 đồng/kg. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 30 kg. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm 4000 đồng/kg thì số vải thiều bán được tăng thêm là 40 kg. Xác định giá bán (nghìn đồng/kg) để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu là 25000 đồng/kg. Câu 4. [MH2.1-MĐ3](min, max trong kinh tế) Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí nghiệp sản xuất x ( m3 ) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi bao gồm: 4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa 100 m3 sản phẩm. Gọi C là chi phí trung bình trên mỗi mét khối sản phẩm. Tìm giá trị thấp nhất của C . (Làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 5. [G.Q2.1-MĐ3](phương sai, độ lệch chuẩn) Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên. 5
- Xác định phương sai của thời gian sử dụng pin (làm tròn đến hàng trăm). Câu 6. [G.Q2.1-MĐ2](véctơ trong không gian) Một thùng hàng hình hộp chữ nhật được cẩu song song với mặt phẳng nằm ngang bởi bốn sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên móc cần cẩu lần lượt buộc vào 4 điểm A, B,C, D trên thùng hàng. Biết rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật có AD 3,2m, AB 2,4m (như hình bên) Độ dài của bốn đoạn dây OA,OB,OC,OD đều bằng L . Khối lượng của thùng hàng là 1,6 tấn. Khi thùng hàng đứng yên, gọi F là độ lớn của các lực căng F1, F2 , F3 , F4 trên mỗi sợi dây. Khi đó, F F L là một hàm với biến số L . Lấy gia tốc trọng trường là 10m s2 . Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 8000N . 6
- LỜI GIẢI CHI TIẾT DẠNG THỨC 1. Câu 1. [TD1.2-MĐ1](cho BBT, hỏi khoảng đb,nb) Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 .D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Lời giải Vậy Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . Câu 2. [TD1.2-MĐ1](cho BBT, hỏi GTLN, GTNN) Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 5;7 như hình vẽ bên Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên 5;7. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. M 7 , m 5 .B. M 6, m 2 .C. M 9, m 2 . D. M 9, m 0 . Lời giải Vậy M 9, m 2 . Câu 3. [TD1.3-MĐ2](Tìm min, max của hàm phần thức trên đoạn cho trước) Gọi M , m theo thứ tự lần x2 3 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn [ 2;0]. Tính P M m . x 1 13 A. P 1.B. P 3 .C. P .D. P 5 . 3 Lời giải 2 2x x 1 x 3 x2 2x 3 Ta có y . x 1 2 x 1 2 7
- 2 x 1 [ 2;0] Ta được y 0 x 2x 3 0 x 3 [ 2;0] 7 Suy ra y 2 ; y 1 2 ; y 0 3. 3 M 2; m 3 P M m 5 . 2x 3 Câu 4. [TD1.2-MĐ1](Tìm TCĐ, TCN của hàm nhất biến) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 4 x đường thẳng có phương trình: 1 A. x 2.B. x 4.C. x 4 .D. x . 2 Lời giải Tập xác định của hàm số: D ¡ \ 4. 2x 3 2x 3 Ta có: lim f x lim ; lim f x lim . x 4 x 4 4 x x 4 x 4 4 x Vậy x 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Câu 5. [GQ1.4-MĐ2](cho TCN, TCĐ, chọn đồ thị) Đồ thị hàm số nào sau đây có phương trình đường tiệm cận đứng là x 3 ? 2x 3 x2 1 2024 2x A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 3 x 3 x2 4 Lời giải 2024 Đồ thị hàm số y có một tiệm cận đứng x 3 và một tiệm cận ngang y 0. x 3 ax2 bx c Câu 6. [GQ1.2-MĐ2](cho đồ thị hàm b2/b1, chọn hàm số) Cho đồ thị hàm số y với a 0 , mx n m 0 như hình bên Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số nào sau đây? x2 2x 2 x2 x 1 x2 3x 4 x2 x 1 A. y .B. y .C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 8
- Lời giải x2 x 1 x2 x 1 Vì TCĐ x 1, loại y và y . x 1 x 1 x2 3x 4 Vì TCX y x 3 nên a , m cùng dấu, loại y . x 1 Câu 7. [TD1.2-MĐ1](cho đồ thị hàm bậc 3, chọn hàm số) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào? x2 1 A. y x2 x 1. B. y x3 3x 1. C. y . D. y x3 3x 1. x Lời giải Chọn y x3 3x 1. Câu 8. [TD1.2-MĐ1](véctơ và các phép toán trong không gian chưa có tọa độ) Cho hình hộp ABCD.EFGH như hình bên Véctơ tổng CB CD CG bằng véctơ nào dưới đây? A. CA . B. CE . C. CH . D. CF . Lời giải 9
- Theo quy tắc hình hộp ta có CB CD CG CE . Câu 9. [TD1.1-MĐ1](tọa độ của véctơ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2 và B 2;2;1 . Tọa độ của véctơ AB là A. 1; 1; 3 . B. 3;1;1 . C. 1;1;3 . D. 3;3; 1 . Lời giải Vậy AB 1;1;3 . Câu 10. [TD1.1-MĐ1](biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ) Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a 1;2;3 và b 2;2; 1 . Tọa độ của véctơ d a 2b là A. d 5;6;1 . B. d 6;5;1 . C. d 5;6;3 . D. d 5;6; 4 . Lời giải Vậy d a 2b 5;6;1 . Câu 11. [TD1.1-MĐ1](Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm) Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau: Cân nặng (g) 150;155 155;160 160;165 165;170 170;175 Số quả táo 4 7 12 6 2 Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu ghép nhóm trên là. A. R = 5 .B. R = 24 .C. R = 25.D. R = 10 . Lời giải Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là R = 175- 150 = 25 (g). Câu 12. [TD1.2-MĐ2](Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm) Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối (đơn vị: phút) của một số học sinh được thống kê ở bảng sau: Thời gian 10,5;12,5 12,5;14,5 14,5;16,5 16,5;18,5 18,5;20,5 Số học sinh 3 12 15 24 2 Phương sai của mẫu số liệu trên là: A. s2 4,87 . B. s2 2,87 . C. s2 1,87 . D. s2 3,87 . Lời giải Thời gian 10,5;12,5 12,5;14,5 14,5;16,5 16,5;18,5 18,5;20,5 Giá trị đại diện 11,5 13,5 15,5 17,5 19,5 Số học sinh 3 12 15 24 2 n 56 10
- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị số phút truy cập internet mỗi buổi tối của một 3.11,5 12.13,5 15.15,5 24.17,5 2.19,5 số học sinh là x 15,86 (phút) 56 Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu thị số phút truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh là: 1 2 2 2 2 s2 3. 11,5 15,86 12.(13,5 15,86)2 15. 15,5 15,86 24. 17,5 15,86 2. 19,5 15,86 3,87 56 DẠNG THỨC 2. Câu 1. [GQ2.1-MĐ1.1.2.2](cho hàm số bậc ba, hỏi quy trình khảo sát hàm số) Cho hàm số y x3 3x2 9x 15 . a) Tập xác định là ¡ . b) Đạo hàm của hàm số đã cho là y 3x2 6x 9 . c) Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . d) Hàm số đạt cực đại tại x 1. Lời giải Câu 1 a) b) c) d) Đ S Đ S Tập xác định: D ¡ . Ta có: y 3x2 6x 9 . 2 2 x 1 Ta có: y 3x 6x 9 . y 0 3x 6x 9 0 . x 3 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 . Câu 2. [GQ2.1-MĐ2.2.3.2](cho hàm phân thức, hỏi quy trình khảo sát và vẽ đồ thị) Cho hàm số x2 2x 5 y . x 1 x2 2x 3 a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y . x 1 2 b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y x 1. 11
- c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y x 2 . d) Đồ thị của hàm số có hình vẽ như sau Lời giải Câu 2 a) b) c) d) Đ S S Đ Tập xác định D ¡ \ 1 . 2 2 2 x 2x 5 x 1 x 1 x 2x 5 2x 2 x 1 x 2x 5 x2 2x 3 y . x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 y 0 x 3 Điểm cực trị: A 1;4 , B 3; 4 . Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng a b 4 a 2 y ax b . Khi đó ta có hệ phương trình . Phương trình đường thẳng AB là y 2x 2 . 3a b 4 b 2 4 4 Vì y x 1 , lim y x 1 lim 0 nên y x 1 là đường tiệm cận xiên. x 1 x x x 1 12
- Câu 3. [GQ2.1-MĐ2.2.2.2](Quy trình tính toán biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ) Trong không gian Oxyz , cho x 4;0; 3 và y 1; 2; 5 . a) 3x 12;0; 9 và 2y 2;4; 10 . b) 3x 2y 10;4;19 và 3x 2y 14; 4; 19 . c) x 3x 2y 151. d) 3x 2y 3x 2y 105 . Lời giải Câu 3 a) b) c) d) S S Đ Đ Ta có 3x 12;0; 9 và 2y 2; 4; 10 . Suy ra 3x 2y 10;4;1 và 3x 2y 14; 4; 19 . Vậy x 3x 2y 151 và 3x 2y 3x 2y 105 . Câu 4. [GQ2.1-MĐ2](Quy trình tính tứ phân vị) Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho bằng 400 mm. 1880 b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 2880 c) Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 1000 d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho bằng . 7 13
- Lời giải Câu 4 a) b) c) d) Đ Đ S Đ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là R uk 1 u1 540 140 400 mm. Lượng mưa (mm) 140;240 240;340 340;440 440;540 Số năm 3 7 7 3 Tần số tích lũy 3 10 17 20 x1, x2 , x3 x4 ,, x10 x11,, x17 x18 , x19 , x20 Vì mẫu số liệu có 20 giá trị theo thứ tự x1 x2 x20 nên x x x x x x Q 5 6 ;Q 10 11 ;Q 15 16 . 1 2 2 2 3 2 Suy ra Q1 240;340 , Q2 240;340 340;440 , Q3 340;440 . Nhận thấy Q2 340 . Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho là n 20 C 3 4 TL.NT 4 1880 Q1 ut.NCTPC h 240 100 . nNCTPV 7 7 Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là 3n C 4 TL.NT 0,7520 10 2880 Q3 ut.NCTPC h 340 100 . nNCTPV 7 7 Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là 1000 Q Q Q . 3 1 7 DẠNG THỨC 3. Câu 1. [MH2.1-MĐ3](min, max trong hình học) Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6dm . Ông X cắt bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài bằng x dm , rồi gập tấm nhôm lại như hình bên dưới để được một cái hộp có dạng khối hộp chữ nhật không có nắp. 14
- Tìm x để thể tích của khối hộp chữ nhật lớn nhất. Lời giải Trả lời: 1. Ta thấy độ dài x dm của cạnh hình vuông bị cắt thỏa 0 x 3 . 2 Ta có V 6 2x 4x 6 2x 12x2 48x 36 . x 1 Cho V 0 . x 3 Vậy maxV 16 khi x 1. Câu 2. [MH2.1-MĐ3](min, max trong hình học) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 4 cm, các kích thước khác là x , y với x 0 và y 0. Biết rằng dùng ít nhất vật liệu khi kích thước của hộp là x a , y b. Giá trị của biểu thức P a2 b2 bằng bao nhiêu? Lời giải Trả lời: 250 125 Vì thể tích của khối hộp chữ nhật bằng 500 nên 4xy 500 , suy ra y (1). x Diện tích toàn phần của hộp là Stp 2 4x xy 4y 8x 2y x 4 (2). 250 1000 Từ (1) và (2) suy ra S 8x x 4 8x 250 . tp x x 1000 Đặt f x 8x 250 , hàm số f liên tục và xác định trên khoảng 0; . x 15
- 1000 8x2 1000 Đạo hàm f ' x 8 có nghiệm x 5 5 0; , x 5 5 0; . x2 x2 Bảng biến thiên Do đó để dùng ít nhất vật liệu thì kích thước là x 5 5 và y 5 5 . Vậy P a2 b2 250 . Câu 3. [MH2.1-MĐ3](min, max trong kinh tế) Một cửa hàng bán quả vải thiều của Bắc Giang với giá bán là 40000 đồng/kg. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 30 kg. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm 4000 đồng/kg thì số vải thiều bán được tăng thêm là 40 kg. Xác định giá bán (nghìn đồng/kg) để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu là 25000 đồng/kg. Lời giải Trả lời: 34. Gọi x là giá bán thực tế của mỗi kg vải thiều ( x : đồng; 25000 x 40000 ). Vì thông thường các quy luật kinh tế là tỉ lệ thuận nên: nếu cửa hàng cứ giảm mỗi kg 4000 đồng thì số vải thiều bán được tăng thêm là 40kg . 40 1 Ta được tỉ lệ là . 4000 100 1 Khi giá giảm 40000 x , Số kilôgam vải thiều bán được tăng thêm là 40000 x . 100 1 1 Số kilôgam vải thiều bán được là 30 40000 x x 430 100 100 1 1 2 Lợi nhuận : F(x) x 430 x 25000 x 680x 10750000 (đơn vị là đồng). 100 100 1 Đạo hàm F ' x x 680 có nghiệm x 34000 50 F 25000 0 ; F 34000 810000 ; F 40000 450000 . Vậy F x đạt GTLN tại x 34000 . Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế là 34 nghìn đồng/kg. 16
- Câu 4. [MH2.1-MĐ3](min, max trong kinh tế) Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí nghiệp sản xuất x ( m3 ) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi bao gồm: 4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa 100 m3 sản phẩm. Gọi C là chi phí trung bình trên mỗi mét khối sản phẩm. Tìm giá trị thấp nhất của C (Làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Trả lời: 0,33. Vì trong một ngày xí nghiệp sản xuất x ( m3 ) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi bao gồm: 4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc nên 4 Chi phí trung bình trên mỗi mét khối ( m3 ) sản phẩm là C 0,2 0,001x (triệu đồng) 0 x 100 . x Tập khảo sát D 0;100 . 4 4 0,001x2 Đạo hàm C 0,001 có nghiệm x 20 10 D , x 20 10 D . x2 x2 Bảng biến thiên Vậy chi phí trung bình thấp nhất 0,33 khi x 63 . Câu 5. [G.Q2.1-MĐ3](phương sai, độ lệch chuẩn) Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên. Xác định phương sai của thời gian sử dụng pin (làm tròn đến hàng trăm). 17
- Lời giải Trả lời: 0,03. Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau: Thời gian (giờ) 7,2;7,4 7,4;7,6 7,6;7,8 7,8;8,0 Giá trị đại diện 7,3 7,5 7,7 7,9 Số máy vi tính 2 4 7 5 Cỡ mẫu là n 2 4 7 5 18. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: 2.7,3 4.7,5 7.7,7 5.7,9 23 x 18 3 Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: 2 2 2 2 2 1 23 23 23 23 S 2. 7,3 4. 7,5 7. 7,7 5. 7,9 0,03. 18 3 3 3 3 Câu 6. [M.H2.1-MĐ3](véctơ trong không gian) Một thùng hàng hình hộp chữ nhật được cẩu song song với mặt phẳng nằm ngang bởi bốn sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên móc cần cẩu lần lượt buộc vào 4 điểm A, B,C, D trên thùng hàng. Biết rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật có AD 3,2m, AB 2,4m (như hình bên) Độ dài của bốn đoạn dây OA,OB,OC,OD đều bằng L . Khối lượng của thùng hàng là 1,6 tấn. Khi thùng hàng đứng yên, gọi F là độ lớn của các lực căng F1, F2 , F3 , F4 trên mỗi sợi dây. Khi đó, F F L là một hàm với biến số L . Lấy gia tốc trọng trường là 10m s2 . Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 8000N . Lời giải Trả lời: 2,3. 18
- Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD , suy ra I là giao điểm của AC và BD . Do độ dài các đoạn dây OA,OB,OC,OD bằng L và tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên : 1 2 OI ABCD , IA AB2 AD2 2 , OI L2 2 L2 4, L 2 . 2 Do F1 F2 F3 F4 F nên tồn tại hằng số m m 0 sao cho: F1 mOA, F2 mOB, F3 mOC, F4 mOD . Suy ra F1 F2 F3 F4 m OA OB OC OD 4mOI . Mặt khác, do thùng hàng đứng yên nên: F1 F2 F3 F4 P , với P là trọng lực tác dụng vào thùng hàng. Do thùng hàng có khối lượng là 1600kg nên có trọng lượng là 16000N . 4000 Suy ra P 16000 4mOI 16000 mOI 4000 m L2 4 4000L 4000L F F1 mOA mL . Vậy F , L 2 . L2 4 L2 4 Mỗi sợi dây chịu được lực căng tối đa là 8000N , suy ra 4000L F 8000 8000 L 2 L2 4 3L2 16 L 2,3m . L2 4 Vậy mỗi sợi dây dài tối thiểu là 2,3m. 19
- ĐÁP ÁN DẠNG THỨC I (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Chọn A C D C C A D B C A C D DẠNG THỨC II Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm. Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm. Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm. Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm. Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 a) Đ a) Đ a) S a) Đ b) S b) S b) S b) Đ c) Đ c) S c) Đ c) S d) S d) Đ d) Đ d) Đ PHẦN III. (Mỗi câu trả lời Đúng thí sinh Được 0,5 Điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 Chọn 1 250 34 0,03 1005 2,3 20
