Đề kiểm tra đội tuyển HSG Toán 12 (Lần 2) - Mã đề 000 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Ngô Sĩ Liên (Có đap án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra đội tuyển HSG Toán 12 (Lần 2) - Mã đề 000 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Ngô Sĩ Liên (Có đap án)

1. SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG LẦN 2 TRƯỜNG THPT NGÔ SĨ LIÊN Năm học 2019 - 2020 Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Mã đề: 000 A.PHẦN TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM) Câu 1. Số nghiệm của phương trình 4 2 x2 .cos3x 0 là A. 7 . B. 12. C. 4 . D. 14. [ ] 2 2 Câu 2. Tổng T các nghiệm của phương trình cos x sin 2x 2 cos x trên khoảng 0;2 bằng 2 7 21 11 3 A. T .B. T .C. T . D. T . 8 8 4 4 [ ] Câu 3. Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ bằng 219 219 442 443 A. . B. . C. . D. . 323 323 506 556 [ ] Câu 4. Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng 145 448 281 154 A. . B. . C. . D. . 729 729 729 729 [ ] n 8 3 1 2 2 1 Câu 5.Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x 4 biết An Cn Cn 4n 6 n ¥ là x A. 505 . B. 405 . C. 495 . D. 505 . [ ] 0 1 1 2 2 3 3 n n 2005 n Câu 6. Số giá trịnguyên dương n thỏa mãn Cn 3 Cn 3 Cn 3 Cn ... 3 Cn 2 .3 là A. 1003. B. 1002. C. 1004. D. 1000. [ ] 1 ax2 bx 2 Câu 7. Cho biết lim c với a,b,c ¡ . Tập nghiệm của phương trình 1 3 x 4x 3x 1 2 ax4 2bx2 c 2 0 trên ¡ có số phần tử là A. 1. B. 3 . C. 0. D. 2 . [ ] Câu 8. Bạn An và bạn Bình chơi trò xếp tháp bằng que diêm được mô tả như hình dưới đây. Để xếp tháp 10 tầng hai bạn phải chuẩn bị ít nhất bao nhiêu que diêm ? A. 42 . B. 200 . C. 230 . D. 210 . [ ] Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ , và đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
2. A. 1;0 .B. 1;2 .C. 2; .D. 0;1 . [ ] 2 Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x2 2x với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m 100 để hàm số g x f x2 8x m đồng biến trên khoảng 4; ? A. 83 . B. 18. C. 82 . D. 84 . [ ] Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x9 (m 2)x7 (m2 4)x6 7 đạt cực tiểu tại x 0 ? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . [ ] Câu 12. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên dưới Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m  100;100 để hàm số h(x) f 2 (x 2) 4 f (x 2) 3m có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng A.5047 .B. 5049 . C.5050 .D. 5043 . [ ] x x2 4 Câu 13. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 x 5 A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. [ ] x m 3 Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số y có đúng một đường x 5 tiệm cận? A. 5 . B. 4 . C. 1. D. 6 . [ ] x + 3 Câu 15. Gọi A, B là các giao điểm của đồ thị 2 hàm số: y = và y = x . Độ dài đoạn thẳng AB là x 7 A. 26. B. 2 13. C. 13. D.  2 [ ] Câu 16. Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để đồ thị hàm số y 2019m 2019m x2 cắt đồ thị y x2 tại hai điểm phân biệt A. 1. B. 0 . C. Vô số. D. 2 . [ ]
3. Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m 0 có hai nghiệm phân biệt là A. ;2 .B. 1;2 . C. 1;2 .D. 2; . [ ] Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. S là tập các số nguyên m để bất phương trình m3. 2x2 2x 4 mx 2m 3 f (x) 2019 f 2019 x 0 nghiệm đúng với mọi x [ 2;2019) . Tổng các phần tử của S là A. 1. B. .3C. . 0D. 2 [ ] 2x 1 Câu 19. Số cặp tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số y là x 2 A. 1. B. Vô số.C. 0 . D. 2 . [ ] 2x 3 Câu 20. Gọi H là đồ thị hàm số y . Điểm M x ; y thuộc H có tổng khoảng cách đến hai x 1 0 0 đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x0 0 khi đó x0 y0 bằng A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 0 . [ ] Câu 21. Gọi A, a lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x3 3x m trên đoạn 0;2 . Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để Aa 12 . Tổng các phần tử của S bằng A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 1 [ ] Câu 22. Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a c 2b .B. ac b2 .C. ac 2b2 . D. ac b . [ ] mln x 2 Câu 23. Cho hàm số y ( m là tham số thực) thỏa mãn min y max y 2. Mệnh đề nào duới ln x 1 1;e 1;e đây đúng? A. 0 m 10 . B. 0 m 2 . C. m 2 . D. 6 m 11. [ ]
4. 2 Câu 24. Xác định m để phương trình 2log 2 x 1 log 2 mx 1 có nghiệm m 2 m 2 m 1 A. m 1. B. 1 m 1. C. m 1. D. . m 1 [ ] x y 1 Câu 25. Cho các số dương x, y thỏa mãn log5 3x 2y 4 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x 3y 4 9 A 6x 2y bằng x y 31 6 27 2 A. . B. 11 3. C. . D. 19. 4 2 [ ] 4 4 Câu 26. Biết cos 2x 2 f x dx 5, khi đó f x dx bằng: 4 4 7 1 A. . B. 3 . C. .D. 2 . 2 2 [ ] x Câu 27. Giả sử hàm số f x liên tục, dương trên ¡ ; thỏa mãn f 0 1 và f ' x f x . Khi đó x2 1 hiệu T f 2 2 2 f 1 thuộc khoảng nào? A. 2;3 . B. 7;9 . C. 0;1 . D. 9;12 . [ ] Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB a, AD 3a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng SAC bằng A. 30 .B. 60 . C. 45. D. 75 . [ ] Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , SA a 3 . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là 2 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 7 5 [ ] Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD . Khoảng cách từ B đến SCD bằng 21 21 A. 1. B. . C. 2 . D. . 3 7 [ ] Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a 2 a 15 a 7 A. . B. . C. .2 a D. . 2 5 7 [ ] Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC đều , AB a , góc giữa SB và ABC bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Thể tích khối chóp S.MNC bằng a3 a3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 4 12 16
5. [ ] Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , M là trung điểm BC . Biết tam giác AA'M đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp A'.BCC ' B ' bằng a3 3a3 3 3a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 16 8 8 [ ] Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , SA SB SC a . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất bằng 3a3 a3 a3 3a3 A. . B. . C. D. . 4 2 4 2 [ ] Câu 35. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm SC . Mặt phẳng MND chia khối chóp thành hai khối đa diện, trong đó khối đa V diện có đỉnh S có thể tích là V , khối đa diện còn lại có thể tích V . Tỉ số 1 bằng 1 2 V 2 V 12 V 5 V 1 V 7 A. 1 . B. 1 . C. 1 .D. 1 . V2 7 V2 3 V2 5 V2 5 [ ] Câu 36. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AD AB BC a. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường 2 thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. 4 a3 5 a3 7 a3 A. V . B. V . C. V a3 . D. V . 3 3 3 [ ] Câu 37. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a . Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm O lấy điểm B . Đặt là góc giữa AB và đáy. Tính tan khi thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn nhất. 1 1 A. tan 2 . B. tan . C. tan . D. tan 1. 2 2 [ ] Câu 38. Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40 cm . Người ta cắt vật N1 bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy của nó để được một 1 hình nón nhỏ N có thể tích bằng thể tích N . Tính chiều cao h của hình 2 8 1 nón N2 ? A. 10cm . B. 20cm .C. . 40cm D. . 5cm [ ] Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a, ·ASB ·ASC 900 , B· SC 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
6. 7 a2 7 a2 7 a2 7 a2 A. .B. .C. .D. 6 3 18 12 [ ] Câu 40. Một quả bóng và một chiếc cốc hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên miệng cốc 3 thấy phần ở bên ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi V , V lần lượt là thể tích 4 1 2 V của quả bóng và chiếc cốc. Tính tỷ số 1 . V2 V 2 V 8 V 9 V 8 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 3 V2 9 V2 16 V2 27 B. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM) 3 2 3 x xy x 2y y Câu 1. Giải hệ phương trình . 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 3, BC a và SA SB SC SD 2a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA. a) Tính độ dài đoạn HK theo a. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK, SO . Mặt phẳng di động, luôn đi qua I và cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD lần lượt tại A , B ,C , D . Tìm giá trị nhỏ nhất của P SA .SB .SC .SD . Câu 3. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của S . Lấy ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 3 2 3 1 x xy x 2y y Giải hệ phương trình . 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 3 2 3 0.25 x xy x 2y y 1 3 2 3 2 x 3y 5 2x 5x 3y 5x 2y 5 2 x 0 2 Điều kiện: 2x 5x 0 5 . x 2 Ta có 1 x3 y3 xy2 y3 x y 0 x y x2 xy 2y2 1 0 1 x y 2 2 x xy 2y 1 0 * 2 2 0.25 2 2 y 7y Mà x xy 2y 1 x 1 0,x, y ¡ nên phương trình (*) 2 4 vô nghiệm. Thay x y vào phương trình (2) ta được: x3 3x 5 2x2 5x 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5 2x2 5x 1 3x3 5x2 2x 5 x3 3x 5
7. 2x2 5x 1 x3 3x 5  x  2x2 5x 1 2x2 5x 1 2 0.25 3 2x 5x 1 0 3 2 x 3x 5 2x 5x 1 x 0 3 2 2x2 5x 1 x 3x 5 x 2x 5x 1 4 5 33 5 33 (3) x  x (thỏa mãn điều kiện) 4 4 2 3 2 3 2 2 0.25 (4) x 2x 5 x 2x 5x x (2x 5) x  2x 5x 2 x3 2x3 (2x 5) (2x 5)2 x3 (2x 5) 2 x3 x3 (2x 5) (2x 5)2 0 2 3 3 2x 5 3 2 2x 2x 5 0 x (2x 5) 0 (không thỏa mãn). 2 4 2x 5 0 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 5 33 5 33 5 33 5 33 x; y ; ; ; 4 4 4 4 2 Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 3, BC a và 1 SA SB SC SD 2a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA. a) Tính độ dài đoạn HK theo a. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK, SO . Mặt phẳng di động, luôn đi qua I và cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD lần lượt tại A , B ,C , D . Tìm giá trị nhỏ nhất của P SA .SB .SC .SD . 0.25 a) + Ta có AB a 3; BC a AC 2a BD . + Gọi O là giao điểm của AC và BD BO a . + Xét OBC có: OB OC BC a OBC đều, mà K là hình chiếu vuông góc của B lên AC 3a BK  OC K là trung điểm của OC AK . 2 + Xét SOB có: SO SB2 OB2 4a2 a2 a 3 .
8. + Xét SAK có: 2SSAK SO.AK HK.SA 0.25 3a a 3. SO.AK 3a 3 HK 2 . SA 2a 4 0.25 9a2 27a2 3a b) + Xét AHK có: AH AK 2 HK 2 4 16 4 3a 5a SH SA AH 2a 4 4 + Từ O kẻ đường song song với HK , cắt SA tại điểm J . a HJ KO 1 1 1 3a a + Xét AHK có: 2 HJ .HA . HA AK 3a 3 3 3 4 4 2 5a SH SI SI SH + Xét SJO có: 4 5 HJ IO IO HJ a 4 + Từ A và từ C kẻ các đường song song với A C cắt đường SO tại các điểm D và E . + Xét 2 tam giác ADO và OEC có: D· AO O· CE (so le trong) AO OC D· OA E· OC (đối đỉnh) ADO CEO (g.c.g) DO EO SA SD SC SE + Trong SAD có: ; trong SEC có: SA' SI SC ' SI SA SC SD SE SD SE 2SO 12 SA' SC ' SI SI SI SI 5 SB SD 12 + Tương tự có: SB ' SD ' 5 SA SB SC SD SA SB SC SD 0.25 + Áp dụng BĐT Cô – si ta có: 44 . . . SA' SB ' SC ' SD ' SA' SB ' SC ' SD ' 24 16a4 44 5 SA'.SB '.SC '.SD '
9. 4 5a 625 4 SA'.SB '.SC '.SD ' a . 3 81 SA SB SC SD 6 + Dấu “=” xảy ra SA' SB ' SC ' SD ' 5 5 SA' SB ' SC ' SD ' a . 3 3 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các 1 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của S . Lấy ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. 4 0.25 Số phần tử của S là: A9 3024 ( số ). Số phần tử của không gian mẫu là n  3024. Gọi A là biến cố ՙՙ số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia 0.25 hết cho 11 ՚՚. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là : abcd , a 0, a b c d . Theo giả thiết ta có : a c b d 11 và a c b d 11suy ra a c 11 và b d 11. Trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 0.25 11 là 2; 9; 3; 8; 4; 7; 5; 6. Chọn cặp số a, c có 4 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Khi đó, chọn cặp số b, d còn 3 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Vậy n A 4.2.3.2 48(số) n A 48 1 0.25 Xác suất cần tìm là P A . n  3024 63