Đề thi giao lưu HSG Toán 12 cấp Tỉnh - Năm học 2024-2025 - Trường THPT Quảng Xuong 1 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi giao lưu HSG Toán 12 cấp Tỉnh - Năm học 2024-2025 - Trường THPT Quảng Xuong 1 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT THANH HOÁ KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 NĂM HỌC 2024- 2025 Bài thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 06 trang, gồm 3 phần) Họ, tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: ........................................................ PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y f() x xác định, có đạo hàm trên và fx'( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới : Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 2 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . Câu 2. Khảo sát về số giờ mượn sách thư viện của học sinh khối 11 trường Y ta được một mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây A. 120: B. 12: C. 8. D. 9. 1 Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y là sinxx cos A. xk . B. xk 2 . C. xk . D. xk . 2 4 Câu 4. Hàm số yx loga và yx logb có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường thẳng y 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ x1 , x2 . Biết rằng xx21 2 , giá trị của a bằng b 1 A. . B. 3 . C. 2 . D. 3 2 . 3 nn2 47 Câu 5. Cho dãy số u với u . Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. n n n 1 A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 2 .
2. 1 Câu 6. Giá trị của lim (k *) bằng: nk A. 0. B. 2. C. 4. D. 5. ax2 bx 1 Câu 7. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị biểu thức: cx 2 T 23 a b c . y 1 -2 -1 O 1 x A. 9. B. 10. C. 8. D. 11. Câu 8. Cho hình chóp S. ABC có G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn SG . Biết SM xSA ySB zSC . Tính T x 26 y z . 1 3 2 5 A. T . B. T . C. T . D. T . 3 2 3 2 Câu 9. Thống kê điểm trung bình cuối học kì 1 môn Toán của một số học sinh lớp 12A được cho ở bảng sau: Số trung vị (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. 7,15 . B. 9,15. C. 7,75. D. 8,15 . Câu 10. Trong hình vẽ dưới đây, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Số đo của góc lượng giác ON, Ox bằng A. 50 kk 360  . B. 120 kk 360  . C. 70 kk 360  . D. 70  kk 360  . Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng 1;20 để bất phương trình logmxxm log nghiệm đúng 1 với mọi x thuộc khoảng ;1 ? 3 A. 16. B. 17. C. 18. D. 19. ax2 12 bx Câu 12. Cho biết limab , có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức x 1 xx3 32 ab22 bằng: 45 9 A. 6 5 3 . B. C. . D. 87 48 3 16 4
3. Câu 13. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB2 a , AD a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi là góc giữa SC và mặt đáy ABCD , tính cos . 5 7 6 10 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 4 4 4 4 Câu 14. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 8 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là 28 37 31 21 A. . B. . C. . D. . 105 105 105 105 1 2m 5 Câu 15. Cho hàm số y m3 13 x 4 x 3 x 2 x m 2 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị 42 1 nguyên của thuộc khoảng 500;50 để hàm số nghịch biến trên đoạn ;4 ? 2 A. 500 . B. 502 . C. 501. D. 499 . Câu 16. Cho hình hộp ABCD. A B C D . Giả sử điểm M thuộc AC , điểm N thuộc DC và MN m AM xAC, DN yDC .Với x và y là các số thực sao cho MN// BD . Khi đó tỉ số BD n m ( là phân số tối giản).Tính mn . n A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 7 . Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA,, AB BC lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là q . Tìm q ? 51 2 2 5 15 2 5 2 A. q . B. q . C. q . D. q . 2 2 2 2 Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi E là trung điểm của BC , F là điểm thuộc cạnh CD sao cho EAF 45o và G thuộc cạnh SA . Biết FG song song với mặt phẳng GA SBC . Khi đó tỉ số bằng GS 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 4 Câu 19. Biển số xe máy tỉnh K gồm hai dòng: - Dòng thứ nhất là 68XY , trong đó X là một trong 24 chữ cái, Y là một trong 10 chữ số; - Dòng thứ hai là abc. de , trong đó a , b , c , d , e là các chữ số. Biển số xe được cho là " đẹp " khi dòng thứ hai có tổng các chữ số là một số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số " đẹp " để đem bán đấu giá? A. 12000 . B. 143988000 . C. 4663440 . D. 71994000 . Câu 20. Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m ), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm MN 90;0;30 , () 90;1 20;30 , PQ 0;120;30 , 0;0;30 (Hình vẽ ). Giả sử K0 là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và KMKNKPKQ0 0 0 0 . Để theo dõi quả bóng đến vị trí A , camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K1 có cao độ bằng 19 .
4. Biết rằng véc tơ KK01 có tọa độ là (;;)abc với abc,, . Khi đó abc bằng A. 7 B. 6 C. 7 D. 5 PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a),b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị của hàm số y f 43 x như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Hàm số đồng biến trên trên tập 0;2  4; . b) f'( 8) f '( 2) f '(4) 0 c) Hàm số g( x ) f x3 2 đồng biến trên khoảng ; , giá trị nhỏ nhất của bằng 3 6 d) Có 26 giá trị thực của tham số m thuộc khoảng 9;9 thỏa mãn 2m để hàm số 1 y 22 f x3 m có 5 điểm cực trị. 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có ABC 2;0; 3 , 4; 4;1 , 4;1; 1 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Điểm A 2;0; 3 đối xứng với A qua mặt phẳng Oyz . b) Tam giác ABC là tam giác tù. c) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là r 1,12 . d) Cho hai điểm MN, thay đổi trên mặt phẳng Oyz sao cho MN 3. Giá trị nhỏ nhất của AM BN (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là 6,17 . Câu 3. Cho 12 ab . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: 2024 2024 a) logab 2 log 2 . 22 b) logab 4log2 b 1 2log b . a a a b loga b 2 c) logab . ab1 loga 22 3 d) Giá trị nhỏ nhất của P 2.logab b 4 b 4 log a có dạng xy 3 với xy, là các số a nguyên dương, khi đó xy 2 22 .
5. uu12 1, 2024 Câu 4. Cho dãy số un xác định bởi * và dãy số w n xác định như un 21 u n 2 u n 1012 , n n iui sau w i 1 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: n 3n43 4 n 2 n 3 a) u4 12142 141660 b) w 4 2038 2u a a c) Biết lim n với ab, là số tự nhiên và là phân số tối giản, khi đó ab22 1012. 22n2 n b b 759 d) lim w . n 9 Câu 5. Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC , SO 2 a Trên đường cao AH của tam giác lấy điểm M không trùng với A và H , mặt phẳng P đi qua M và vuông góc với AH . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) SO song song với mặt phẳng P a 39 b) Cạnh bên của hình chóp đã cho bằng . 3 c) Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy, giá trị tan 4 3 d) Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện của hình chóp S. ABC cắt bởi mặt phẳng P bằng 3a2 . 4 Câu 6. Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Số cách chọn được hai thẻ chẵn là 1225 . 37 b) Xác suất chọn được hai thẻ mà tích các số ghi trên hai thẻ là số chẵn bằng . 49 c) Số cách chọn được ba thẻ mà các số ghi trên ba thẻ lập thành cấp số cộng là 780 . d) Xác suất để chọn được hai thẻ mà hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3 bằng 0,65 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 Câu 1. Cho hàm số y f x x32 ax bx 3 với ab, là các tham số thực thỏa mãn ab 20 2 . Hỏi phương trình 2.f x . f '' x f ' x có bao nhiêu nghiệm? 24 3 3ab 0 Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho bốn điểm ABC 1;2; 3 , 4;0;5 , 2;0;1 và D(6; 2;11) . Gọi M(;;) x y z là điểm sao cho hai biểu thức P 23 MA2 MB 2 MC 2 MD 4 và Q x 2 y 2 z 24 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x 3 y z 1 Câu 3. Có bao nhiêu số nguyên y y 3 sao cho tồn tại đúng hai số thực x lớn hơn thỏa mãn: 2021 x ln y ey xy x xy Câu 4. Cho hình lăng trụ ABCD. MNPQ có tất cả các cạnh bằng 3 , đáy ABCD là hình thoi và BAD 60 . Các mặt phẳng ADQM , ABNM cùng tạo với đáy của lăng trụ góc thỏa mãn tan 2 11 và hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng MNPQ nằm bên trong hình thoi MNPQ . Gọi O là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện AMNQ . Biết thể tích khối a a chóp O. ABM có giá trị bằng V và V 2 với ab, là số tự nhiên; phân số tối giản. Tìm ab . b b
6. Câu 5. Chọn ngẫu nhiên 3 số abc,, trong tập hợp S 1;2;...;26 . Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa m * m mãn abc2 2 2 chia hết cho 5 bằng với mn, và là phân số tối giản. n n Tính giá trị biểu thức T 2 m n . Câu 6. Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 25m , chiều rộng AD 20m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( MN, lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m . Do tính cấp thiết cần có của con đường nên đội xây dựng đã hoàn thành con đường trong một thời gian ngắn nhất. Hỏi sau bao nhiêu phút đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C ( làm tròn đến hàng đơn vị). ..HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
7. SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 NĂM HỌC 2024- 2025 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 06 trang, gồm 3 phần) PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được . điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đ.A B D D Dy fD() x A B B D D B B fxD'( ) B C A B B D B PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm -Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,12 điểm. -Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,3 điểm. -Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,6 điểm. -Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1,2 điểm. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 a) S a) Đ a) S a) Đ a) S a) S b) Đ b) S b) Đ b) Đ b) Đ b) Đ c) Đ c) Đ c) S c) S c) Đ c) S d) Đ d) S d) S d) Đ d) Đ d) S 3; 2 PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được . điểm) Câu 1 2 3 2; 4 5 6 Đáp án 2 8 2026 ;3 731 93 89 LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí2;0 sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số xác định, có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới : Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng . C. Hàm số đồng biến trên khoảng . D. Hàm số đồng biến trên khoảng . Lời giải Chọn B x 3 Dựa vào đồ thị hàm số ta có: fx'( ) 0 và f'( x ) 0 x 3; 2;0 xx 2( 0)
8. Vậy hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 2; . Câu 2. Khảo sát về số giờ mượn sách thư viện của học sinh khối 11 trường Y ta được một mẫu số liệu ghép nhóm như sau: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây A. 120: B. 12: C. 8. D. 9. Lời giải Chọn D Nhóm chứa Mốt là 8;12 . Do đó: um 8; nm 1 78 ; nm 120 ; nm 1 45 ; uumm 1 12 8 4 120 78 368 Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: M 8 .4 9,4 . o 120 78 120 45 39 Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Đkxđ của hàm số đã cho là: sinxx cos 0 2.sin x 0 sin x 0 4 4 xk xk . 4 4 Câu 4. Hàm số và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 1 y Đường thẳng cắt hai đồ thị tại sincácxx đi ể cosm có hoành độ , . Biết rằng , giá trị của xk xk 2 xk xk bằng 2 4 yx loga yx logb A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D 3 Từ đồ thị có x1 là nghiệm của phương trình logb x 3 nên logb x11 3 x b . 3 Từ đồ thị có x2 là nghiệm của phương trình loga x 3 nên loga x22 3 x a . 3 33 a a 3 a 3 Do xx21 2 ab2. 2 2 . Vậy 2 . b b b y 3 x1 x2 xx21 2 Câu 5. Choa dãy số với . Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. b A. . B. . C. . D. . 1 3 3 Lời giải 2 2 3 Chọn D 2 2 nn 47 nn un 4 7un 4 * Ta có un n 3n 1 n 4 nn 116 3 2
9. 1 4 nn 1 2 1 lim (k *) * Để un nhận giá trịk nguyên thì n là số nguyên thì n n 1 nn 1 4 3 Vậy dãy số u có hai số hạng nhận giá trị nguyên. n ax2 bx 1 y Câu 6. Giá trị của cx 2 bằng: T 23 a b c A. 0. B. 2. C. 4.y D. 5. Lời giải Chọn A Câu 7. Cho hàm số có đồ thị như hình1 vẽ bên dưới. Tính giá trị biểu thức: -2 x . -1 O 1 S. ABC G ABC M SG SM xSA ySB zSC T x 26 y z 1 3 2 5 T . T . T . T . A. 9. 3 B. 10. 2 C. 8. 3 D. 11. 2 Lời giải 12A Chọn B 2 Đồ thị có tiệm cận đứng x 2. Suy ra 21 c . c Đồ thị có tiệm cận xiên đi qua hai điểm: 0;1 và 1;0 nên có phương trình: xy 7,15 11 yx . Khi đó9,15 ta có: 7,75 8,15 11 ax2 bx 1 x2 bx 1 bx 21 lim 1 a 1; lim x lim b 2 1 b 3 . x xx 2 xx xx 22 Vậy: T 2 a 3 b c 2 9 1 10 . Câu 8. Cho hình chóp có là trọng tâm tam giác và là trung điểm của đoạn . Biết . Tính . A. B. C. D. Lời giải Chọn B Vì M là trung điểm của đoạn SG và G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: 1 1 1 1 1 1 SM SG  SA SB SC SA SB SC . 2 2 3 6 6 6 1 1 1 3 Vậy, T x 2 y 6 z 2. 6. . 6 6 6 2 Câu 9. Thống kê điểm trung bình cuối học kì 1 môn Toán của một số học sinh lớp được cho ở bảng sau: Số trung vị (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Cỡ mẫu là n 82 .
10. Gọi x1, x 2 ,..., x 82 là các giá trị điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp theo thứ tự tăng dần. xx Vì cỡ mẫu chẵn nên ta có trung vị là 41 42 . 2 Mà hai giá trị xx41, 42 thuộc nhóm 8;8,5 nên nhóm này chứa trung vị. 82 8 10 16 Vậy ta có giá trị trung vị là M 8 2 . 8,5 8 8,14583 8,15 . e 24 Câu 10. Trong hình vẽ dưới đây, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Số đo của góc lượng giác bằng A. . B. . C. . D. .12 A Lời giải Chọn D Vì ba cánh quạt phân bố đều nhau nên ta suy ra MON NOP POM 120 . Suy ra một góc lượng giác OM, ON có số đo là 120 . Theo hình vẽ, ta có một góc lượng giác Ox, OM có số đo là 50 suy ra một góc lượng giác OM, Ox có số đo là 50 . Theo hệ thức Chasles, ta có: sđ ON, Ox ss đ OM , Ox đ OM ,ON k 360  50  120  k 360   70k 360  k . Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc ? A. B. C. D. Lời giải. Chọn B 1 lnxm ln 1 Với m 1;20 , ta có : YCBT ON , Oxlog x log m , x ;1 , x ;1 mx 3 lnmx ln 3 50 kk 360  1 1 120 kk 360  ln22x ln m , x ;1 (do lnx 0 với x ;1 , lnm 0 với m 1;20 ) 70 kk 360  3 3 70  kk 360  221 2 1 ln ln m (do hàm yxln nghịch biến1;20 trên ;1 ) logmxxm log 3 3 1 m 1;20 ln22 3x ln m ln3 lnm;1 3 m m 3;4;...;19 . 3 m 16. ax2 12 bx 17. 18. 19. Câu 12. Cho biết limab , có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức x 1 xx3 32 bằng? ab22 A. . B. C. . D. 45 9 6 5 3 87 48 3 16 Lời giải 4
11. Chọn B S. ABCD ABCD AB2 a AD a SA ax221 bxSA 2 a 3 ax 1 bx 2 SC ABCD cos Ta có lim limL , với L (*) xx11xx3 32 xx122 bb22 Khi đó a1 b 2 0 a 1 b 2 22 4 3 8a1 b 4 b 4 a b 4 b 3 Thay a b2 43 b vào (*): 28 37 2231 21 ax2 12 bx b4 b 3 x 1 bx 2 lim lim 105 3 105 2 105 105 x 1 xx32 xx12 x 1 b224 b 3 x 1 bx 2 2 lim x 1 x12 x 2 b22 4 b 3 x 1 bx 2 4b 3 x2 4 bx 3 lim x 1 x12 x 2 b22 4 b 3 x 1 bx 2 4bx 3 3 limLL , . x 1 x1 x 2 b22 4 b 3 x 1 bx 2 3 3 45 Khi đó: 4bb 3 3 0 a . Vậy ab22 2 4 16 Câu 13. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , . vuông góc với mặt phẳng đáy. . Gọi là góc giữa và mặt đáy , tính . 5 7 6 10 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D Hình chiếu của SC lên ABCD là AC . Do đó SC, ABCD SCA AC AB2 AD 245aa 2 2 a SC22 a AC a 5 10 Trong tam giác vuông SAC : cos SCA . SC 22a 4 Câu 14. Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ và viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B 2 Số phần tử của không gian mẫu: nC  15 105
12. 222 Gọi A: “chọn được hai viên bi cùng màu” n A C4 C 3 C 8 37 37 Xác suất của biến cố A : nA . 105 Câu 15. Cho hàm số ( là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc khoảng để hàm số nghịch biến trên đoạn ? A. . B. . C. . D. . 1 2m 5 y m3 13 x 4 x 3 xL 2ờ i gi xả i. m 2 m Chọn C 42 1 3 3 2 Ta có y m 1 x 3 x 2 m500;50 5 x 3. ;4 2 500 502 1 3501 3 2 499 1 Yêu cầu bài toán yx 0,  ;4 m 1 x 3 x 2 m 5 x 3 0  x ;4 . ABCD. A B C D 2 M AC N 2DC 3 3 2 3 3 3 2 Ta có bất phương trình m 1 x 3 x 2 m 5 x 3 0 m x x 3 x 2 mx MN 5 x 3 m 0 AM xAC, DN yDC x y MN// BD 33 mx 2 mx x 1 2 x 1 1 . BD n m Xét hàm số f t t32 2 t fmn ' t 3 t 2 0  t f t là hàm số đồng biến trên 2 n . 4 3 5 7 x 11 Từ 1 và 2 mx x 1 m ,  x ;4 . x 2 x 1 1 11 5 Xét hx trên ;4 có h x 0,  x ;4 m min h x m . 2 1 x 2 x 2 ;4 4 2 m 500;50 Vì m 499; 498;... 2; 1;0;1. m Vậy có 501 giá trị m thoả yêu cầu. Câu 16. Cho hình hộp . Giả sử điểm thuộc , điểm thuộc và .Với và sao cho .Khi đó tỉ số .( là phân số tối giản).Tính . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Đặt: BA a,, BC b BB c . Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: BD a b c . Ta có: MN BN BM . Từ DN yDC , ta có BN BD y BC BD , suy ra: BN a b y b c a b . BN 1 y a b yc . Từ AM xAC , suy ra BM BA x BC BA . Vậy BMaxba BM 1 xaxb . Do đó: MN BN BM 1 y a b yc 1 x a xb x y a 1 x b yc.
13. Điều kiện để là MN kBD hay x y a 1 x b yc k a b c x y a 1 x b yc ka kb kc (*) Do a,, b c không cùng phương nên từ (*) suy ra: k x y x 20 y 2 1 1 k 11 x x y x;;;; y k . 3 3 3 k y k y 21 Vậy M và N được xác định bởi bởi AM AC, DN DC và 33 2 1 2 1 1 1 MN a 1 b c a b c BD . 3 3 3 3 3 3 MN 1 Khi đó k .Suy ra m 1; n 3 m n 4 BD 3 Câu 17. Cho tam giác vuông tại có ba cạnh lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là . Tìm ? MN// BD A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B ABC A CA,, AB BC Vì tam giác vuông tại nên BC2 AB 2 AC 2 . Theo giả thiết ta có ba cạnh q q lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là nên BC q2. AC và AB q. AC . 51 2 2 5 15 2 5 2 q q q q2 15 2 2 2 q 2 4 2 2 2 2 42 2 Do đó S. ABCD q.. ACABCD q AC AC qq E 10 BC F. o 15 CD EAF 45 G SA FG q2 GA 2 SBC 15 GS 2 2 5 Vì q 0 nên q2 q . 1 2 1 2 2 3 Câu 18. Cho3 hình chóp có đáy2 là hình vuông.3 Gọi là trung điểm 4của , là điểm thuộc cạnh sao cho và thuộc cạnh . Biết song song với mặt phẳng . Khi đó tỉ số bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: BAE EAF DAF 90o BAE DAF 45o tanBAE tan DAF tan BAE DAF 1 1 1 tanBAE .tan DAF
14. BE 1 1DF 1 1 1 Mà tan BAE Nên tan DAF DF DA DC BA 2 3DA 3 3 3 Gọi H là giao điểm của AF và BC trong mặt phẳng ABCD GF SAH Ta có: GF//// SBC GF SH SAH  SBC SH AG AF AF DF 1 AG11 GA .Mà Nên AS AH AH DC 3 AS32 GS Câu 19. Biển số xe máy tỉnh gồm hai dòng - Dòng thứ nhất là , trong đó là một trong chữ cái, là một trong chữ số; - Dòng thứ hai là KK01, trong đó , , , , là các chữ số. abc Biể7n số xe được cho là 6đẹp khi dòng thứ hai có tổng 7các số là số có chữ số tận cùng5 bằng và có đúng chữ số giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biển số trong các biển số đẹp để đem bán đấu giá? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Chọn X từ 24 chữ cái và chọn Y từ 10 chữ số, ta có 24.10 240 (cách chọn). Chọn 4 chữ số giống nhau từ các chữ số ta có 10 cách chọn; Mỗi bộ gồm 4 chữ số giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất 1 chữ số còn lại để tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0 , chữ số còn lại sẽ là 8 ; 4 chữ số 1, chữ số còn lại sẽ là 4 ; ; 4 chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2 ). Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có 5 cách xếp. Do đó, có tất cả 10.5 50 (cách chọn số ở dòng thứ hai). Suy ra có tất cả 240.50 12000 (biển số đẹp). 2 Chọn 2 biển số trong các biển số " đẹp " ta có C12000 71994000 (cách). Câu 20: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m ), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm K (Hình vẽ ). Giả sử là vị trí ban đầu của camera có cao độ68 XYbằng 25 và X 24 . ĐểY theo dõi quả bóng10 đến vị a c e trí , camera đượcabc hạ. de thấp theo phươngb thẳngd đứng xuống điểm có cao độ bằng 19 . " " 8 4 2 " " 12000 143988000 4663440 71994000 Oxyz MN 90;0;30 , () 90;1 20;30 , PQ 0;120;30 , 0;0;30 K0 KMKNKPKQ0 0 0 0 A K1 Biết rằng véc tơ có tọa độ là (a ; b ; c ); a , b , c . Khi đó bằng A. B. C. D.
15. Lời giải Chọn B Gọi MNPK1, 1 , 1 , lần lượt là hình chiếu của MNPK, , , 0 lên mặt phẳng Oxy . fx y f 43 x Ta thấy MNPQ. M1 N 1 PO 1 là hình hộp chữ nhật. Gọi K ' là giao hai đường chéo MP và NQ . Khi đó KQKPKNKM''''. Vì KMKNKPKQ0 0 0 0 và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm K0 xuống điểm K1 nên các điểm KKKK', 01 , , thẳng hàng. Khi đó, các điểm KKKK', 01 , , có hoành độ và tung độ bằng nhau. Theo bài ra, cao độ của K01 và K lần lượt là 25 và 19. Giả sử K01 x; y ;25 và K x ; y ;19 . Ta có MNPQ. M1 N 1 PO 1 là hình hộp chữ nhật nên K' K OQ , suy ra cao độ của K ' bằng 30. Do đó, K' x ; y ;30 . Ta có K Q x; y ;0 , NK x 90; y 120;0 . f'( 8) f '( 2) f '(4) 0 Vì K ' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MNPQ nên K ' là trung điểm của NQ. xx 90 x 45 Suy ra K Q NK y y 120 . Vậy KK01 45; 60; 25 , 45; 60; 19 y 60 00 Ta có KK01 0;0; 6 . Do đó, abc 6. PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a),b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên. Đồ thị của hàm số như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Hàm số đồng biến trên trên tập 0;2  4; . b)
16. c) Hàm số đồng biến trên khoảng , giá trị nhỏ nhất của bằng d) Có giá thực của tham số thuộc khoảng thỏa mãn để hàm số có 5 điểm cực trị. Lời giải 9 a) Sai vì: xét hàm số x 0;2 ,  x 4; : x x ta có limyy lim 4 1 2 1 2 xx11 (2)4 (4) b) Đúng vì: Từ đồ thị hàm số y f 43 x có bảng biến thiên như sau: Suy ra: y'(0) 3. f ' 4 3.0 0 f '(4) 0 . Tương tự ff'( 8) 0, '( 2) 0 c) Đúng vì: Xét hàm số g x f x3 2 . x2 0 x 0 3 3 23 xx 2 4 3.0 6 g x 3 x . f x 2 , gx 0 . x3 2 4 3.2 x 0 3 3 x 2 4 3.4 x 6 Ta có bảng biến thiên hàm gx như sau: g( x ) f x3 2 ; 3 6 26 m 9;9 2m 1 y 22 f x3 m 2 Hàm số đồng biến trên 3 6; do đó giá trị nhỏ nhất của bằng d) Đúng vì: 1  Ta có gx có 3 cực trị nên y 2 g x m cũng có 3 cực trị. Do đó để hàm 2 1 có 5 cực trị thì phương trình 20g x m có đúng 2 nghiệm đơn 2 1 2m 1 phân biệt. Ta có: 2g x m 0 g x * 24 2m 1 9 44 28m  Phương trình * có đúng 2 nghiệm đơn khi và chỉ khi . 2mm 1 1 2 17 40 4 18 2m 8 Mà 2m 18;18 và 2m nên suy ra . 1 2m 17
17. Do 2m nên 2m 17; 16; 15;... 8;1;2;3;..;16 .Vậy có 10 16 26 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2. Trong không gian , cho tam giác có . a) Điểm đối xứng với qua mặt phẳng . b) Tam giác là tam giác tù. c) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là . d) Cho hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho . Giá trị nhỏ nhất của (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là . Lời giải a) Đúng. b) Ta có AB 4 16 16 6; AC 4 1 4 3; BC 0 25 4 29 . Cạnh AB lớn nhất nên góc C lớn nhất AC2 BC 2 AB 2 Do cosC 0 nên C là góc nhọn, do đó tam giác ABC nhọn b) sai. 2.AC BC c) Ta có diện tích tam giác ABC 1 S p p a p b p c 9 29 9 29 3 29 29 3 65 . 4 S 2 65 Mặt khác S pr r 1,12 . c) đúng. p 9 29 d) Ta có H 0;0; 3 , K 0; 4;1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2;0; 3 và B 4; 4;1 xuống mặt phẳng Oyz . Nhận xét: A , B nằm về cùng một phía với mặt phẳng Oyz . Oxyz ABC ABC 2;0; 3 , 4; 4;1 , 4;1; 1 Gọi A đối xứng với A qua Oyz , suy ra H là trung điểm đoạn AA nên AM A M . A 2;0; 3 A Oyz Mà A H AHABC 2; BK 6; HK 4 2 . Do đó AM BN A M BN HA2 HMABC 2 BK 2 KN 2 r 1,12 HA BK2 HM KN 2 36 HM KN 2 MN , Oyz MN 3 LAMại có BNHM MN NK HK HM NK HK MN 6,174 2 3 Dấu “=”12 abxả y ra khi và chỉ khi HMNK,,, thẳng hàng và theo thứ tự đó. log 22024 log 2 2024 2 2 Suy raab AM BN 36 HM KN 36 4 2 3 77 24 2 . 2loga b Vậy giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng 77 24 2 6,56 . d) sai. Câu 3. Cho . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) . b) log22ab 4log b 1 . a a2
18. uu12 1, 2024 c) un . * un 21 u n 2 u n 1012 , n d) Giá trị nhỏ nhn ất của có dạng với là các số iui w i 1 nguyênn dương,3n43 khi 4 n đó 2 n 3 . Lời giải: u4 12142 a) Ta có log 22024 log 2 2024 nên a) sai 141660ab w 2 b) log4 2ab 4log 2 b 1 1 log b log 2 b 1 2log b nên b) đúng a 2038 a2 a a a 2u a a lim n b 1 ab, ab22 1012. 2log logb 1 b22n na b a logb 2 b c) log a 2 a nên c) sai ab a759log ab 1 log b 2 1 log b lim wn a a a d) Ta có 9 b 10 1 b 2 b 1 b2 4 0 2 b 40 b3 b 2 4 b 4 0 b 2 4 b 4 b 3 23 Mà a 1nên logaa b 4 b 4 log b 32 1 Do đó P 2loga b log b a 6log a b 2 a loga b 1 12 ab Đặt tb loga , từ điều kiện ta có b t 1 1 a 11 Khi đó p 6 t 3 t 1 3 t 1 6 33 9 6 tt 11 22 11 Dấu "" xảy ra khi 3 tt 1 1 3 t 1 2 3 Vậy x 6; y 9 x 2 y 24. nên d) sai Câu 4. Cho dãy số được xác định bởi . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau a) b) c) biết . là số tự nhiên, tối giản, khi đó n iui d) Đặt w i 1 thì . n 3n43 4 n 2 n 3 Lời giải uu12 1, 2024 1 n 1 un 21 u n 2 u n 11 0 2 2 a) b loga b 2 . logab ab1 loga 22 3 P 2.logab b 4 b 4 log a xy 3 xy, a xy 2 22
19. u3 u 1 2 u 2 1012 u3 2 u 2 1012 u 1 1607 u4 2 u32 1012 u 12142 u 2 u 3 u 4 u 70830 b) nên w 1 2 3 4 4 3.443 4.4 2.4 3 1019 c) Đặt vn u n 1 u n . Ta có 2 un 2 u n 1 u n 1 u n 2024 v n 1 v n 2024 . Suy ra v lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v u u 2024 1 2023 và công sai n 2u a 1 2 1 lim n d 2024 22n2 n b Nên vn 2023 n 1 .2024 2024 n 1. Khi đó: un u n u n 1 u n 1 u n 2  u 2 u 1 u 1 S. ABC a O ABC SO 2 a vnn 1 v 2  . v 1 u 1 2024 n  1 n 2 1 n 1 1 AH M A H P nn 1 2024M n 2 1012AH n n 1 n 2 1012 n2 1013 n 2 2 . SO P 2 un 1012 n 1013 n 2 a 39 2026 4 2 2024 2u 2024n 20263n 4 2 Do đó: limn lim limn n 1012 . 2 2 12 2n n 2 2 n n 2 2 S. ABCn n2 P 2 3a . Vậy a=1012, b=1. ab22 1024143. 4 n iui d) v i 1 n 3n43 4 n 2 n 3 n n n n n 2 32 iui  i 1012i 10132i 1012  i 1013  i 2  i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 n( n 1) n ( n 1)(2 n 1)n (n 1) 1012 1013 2 226 2 n n( n 1) n ( n 1)(2 n 1) n ( n 1) iui 1012 1013 2  2 6 2 v i 1 . n 3n4 4 n 3 2 n 3 3 n 4 4 n 3 2 n 3 253 759 limv . n 39 Câu 5. Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác , Trên đường cao của tam giác lấy điểm không trùng với và , mặt phẳng đi qua và vuôngn góc với . Các mệnh đề sau đúng hay sai? iu a) song song với mặit phẳng w i 1 n 3n43 4 n 2 n 3 b) Cạnh bên của hình chóp đã cho bằng . c) Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy có giá trị tan bằng 43. d) Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng bằng . Lời giải
20. a) Vì là hình chóp đều nên SO AH . Mà P  AH nên song song với mặt phẳng hoặc SO () P Vậy a)-sai S A C O H B a 3 23a b) Ta có AH S. ABCAO AH 2 33 3aa2 39 Xét tam giác vuông OSA ta có SA SO2 AO 2 4 a 2 SO P 93 Vậy b)-đúng c) Dễ thấy góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đã cho bằng góc OHS SO3 SO 3.2 a Ta có tan tanOHS 4 3 OH AH a 3 2 Vậy c)-đúng a 3 d) Đặt AM x với 0 x . Ta xét hai trường hợp sau: 2 a 3 TH1: 0 x , khi đó thiết diện là tam giác cân KIJ tại K như hình vẽ 3 S K J A C M I O H B IJ AM AM. BC 2 x 3 KM AM AM. SO Ta có IJ và KM 23 x BC AH AH 3 SO AO AO 12a2 Suy ra dt KIJ IJ.2 KM x2 23 aa33 TH2: x , khi đó thiết diện là hình thang cân IJEF như hình vẽ 32 S N E F J A C O M H I B