Khai thác, phát triển một số bài toán hình học phẳng

Nội dung tài liệu: Khai thác, phát triển một số bài toán hình học phẳng

1. DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT AB độ dài đại số của đoạn thẳng AB A,B,C Ba điểm A, B, C thẳng hàng a // b a cùng phương với b a  b a cùng hướng với b a  b a ngược hướng với b SABC diện tích tam giác ABC (ABC) đường tròn đi qua ba điểm A, B,C (AB) Đường tròn đường kinh AB (I;R) đường tròn tâm I bán kính R PM /(O) Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) đpcm điều phải chứng minh IMO Kì thi Oympic toán học quốc tế VMO Kì thi vô địch quốc gia môn Toán Việt Nam APMO Olympic Toán học khu vực châu Á – Thái Bình Dương IMO SL Danh sách bài tập đề nghị IMO rút gọn NXB Nhà xuất bản [AB] Đoạn thẳng AB
2. MỤC LỤC Phần I. Mở đầu .. 2 Phần II. Nội dung nghiên cứu và kết quả 4 Chương 1. Cơ sở lý thuyết .. 4 1.1 Phương tích , trục đẳng phương . 4 1.2. Một số định lý cổ điển 7 1.3. Một số phép biến hình . 10 1.4 Hàng điểm điều hòa - Cực và đối cực .. 10 Chương 2. Phát triển một số bài toán hình học phẳng . 17 2.1 Phát triển một bài toán quen thuộc về đường tròn nội tiếp .. 17 2.2 Khai thác một số ý tưởng sử dụng lượng giác . 38 Phần 3. Kết luận . 56 Tài liệu tham khảo . 57 1
3. PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bồi dưỡng học sinh giỏi vẫn luôn là một nhiệm vụ hàng đầu trong việc phát triển nhân lực chất lượng cao cho đất nước. Công việc ấy đòi hỏi giáo viên phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới, tìm ra những hướng đi phù hợp, nhằm tạo cảm hứng cho học sinh trong việc tự học, tự nghiên cứu của mình. Một trong những biện pháp khá hiệu quả, đó là hướng dẫn học sinh phát triển, khai thác các bài toán cơ bản thường gặp, giúp các em sớm hình thành, phát triển khả năng nghiên cứu- năng lực quan trọng nhất đối với học sinh chuyên. Chính vì vậy, tôi nghiên cứu chuyên đề “Khai thác, phát triển một số bài toán hình học phẳng”. Xuyên suốt chuyên đề là các ý tưởng sau: 1) Khai thác tiếp các ứng dụng của bài toán vừa học để giải quyết các bài toán mới sâu hơn, phức tạp hơn. 2) Tổng quát hóa, đặc biệt hóa. 3) Thay đổi góc nhìn, thay đổi mô hình. 4) Sử dụng các phép biến hình để đưa ra một mô hình mới. Chuyên đề gồm hai phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung nghiên cứa và kết quả Phần này gồm hai chương: Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Chương 2. Khai thác - phát triển một số bài toán hình học phẳng. Ở mỗi phần, tôi đã cố gắng tổng hợp một hệ thống các ví dụ và bài tập đa dạng, từ nhiều nguồn, chủ yếu là từ các đề thi học sinh giỏi của các nước trên thế giới – Có trích dẫn nguồn gốc cụ thể. Mỗi bài toán đều được phát triển một cách tự nhiên, logic nhất có thể. Dù đã rất cố gắng, song do trình độ và thời gian có hạn nên không thể tránh khỏi nhiều hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp. 2
4. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống một số phương pháp cơ bản trong hình học phẳng cho các học sinh Chuyên. Đưa ra hệ thống các bài tập cơ bản, phát triển các bài tập một cách tự nhiên. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đưa ra hướng tiếp cận giải quyết một số loại bài định tính trong hình học phẳng, hệ thống lý thuyết khoa học, đầy đủ. IV. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA CHUYÊN ĐỀ Đưa ra hệ thống lý thuyết của một số phương pháp giải bài toán trong hình học phẳng, chủ yếu là công cụ hình học thuần tuý. Đưa ra hệ thống các ví dụ minh hoạ cho phương pháp dạy hình học phẳng. 3
5. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương 1. Cơ sở lý thuyết Để thuận lợi cho việc theo dõi các ví dụ cho các bài giảng ở chương sau. Chúng ta đi tổng hợp các kiến thức thường dùng trong hình học phẳng 1.1 Phương tích , trục đẳng phương Phương tích của một điểm đối với đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn, tâm đẳng phương của ba đường tròn có lẽ là một sản phẩm đẹp nhất của góc nội tiếp và tam giác đồng dạng. Nó có vị trí rất quan trọng trong hệ thống các phương pháp tiếp cận hình học, đặc biệt là các bài toán định tính. Vì vậy, để nó đứng thành một mục độc lập, ta sẽ cảm nhận rõ hơn được vẻ đẹp và sức mạnh của chúng. 1.1.1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 1.1.1.1 Bài toán mở đầu Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó MA.MB MO2 R2 d 2 R2. (Đây là bài toán quen thuộc trong SGK Hình học 10 – Nâng cao, NXB GD 2008) 1.1.1.2. Định nghĩa Đại lượng không đổi MA.MB d 2 R2 trong Bài toán 12.1.1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có: 2 2 PM / O MA.MB d R . 1.1.1.3. Tính chất Tính chất 1 Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0. Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0. 4
6. Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0. Tính chất 2 Trong mặt phẳng, cho đường tròn O;R và một điểm M nằm bên ngoài (O). Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới (O). Khi đó MA.MB MT 2 OM 2 R2. Tính chất 3 Cho hai đường thẳng AB,CD phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng A, B, C, D ). Khi đó, nếu MA.MB MC.MD thì bốn điểm A, B,C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính chất 4 Cho hai đường thẳng AB,MT phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng A,B,T ). Khi đó, nếu MA.MB MT 2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T. 1.1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn 1.1.2.1 Định lý và định nghĩa Cho hai đường tròn không đồng tâm (O 1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2). 1.1.2.2. Tính chất Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Tính chất 1 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm. Tính chất 2 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng. Tính chất 3 Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O 1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn. 5
7. Tính chất 4 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. Tính chất 5 Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng. Tính chất 6 Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. Tính chất 7 Cho AB là tiếp tuyến chung của (O1), (O2). Khi đó trục đẳng phương của hai đường tròn đó luôn đi qua trung điểm AB 1.1.3 Tâm đẳng phương của ba đường tròn 1.1.3.1 Định lý và định nghĩa Cho 3 đường tròn (C 1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 1.1.3.2. Tính chất Tính chất 1 Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các đường thẳng chứa ba dây cung đó hoặc đồng quy hoặc trùng nhau hoặc song song với nhau. Tính chất 2 Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng. 6
8. 1.2. Một số định lý cổ điển 1.2.1. Định lý Ceva Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB của tam giác BAC. Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG đôi một song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi EB FC GA . . 1 EC FA GB A G F B E C * Định lý Ceva ở dạng lượng giác: Cho tam giác ABC. Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác BAC. Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG đôi một song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi sin AE, AB sin BF,BC sin CG,CA . . 1. sin AE, AC sin BF,BA sin CG,CB 1.2.1. Định lý Menelaus Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB, ta lấy các điểm P, Q, R sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác. Khi đó, ba điểm P,Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi EB FC GA . . 1 EC FA GB 7
9. C Q P R A B *Mở rộng định lý Menelaus cho tứ giác: Cho tứ giác lồi ABCD và đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó MA NB PC QD . . . 1. MB NC PD QA Việc chứng minh các định lý trên khá đơn giản. Chúng ta có thể tìm thấy ở hầu hết các tài liệu viết về hình học sơ cấp. 1.2.3 Định lý Pascal Cho các điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự). Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và DE, BC và EF, CD và FA. Khi đó các điểm P, Q, R thẳng hàng. 1.2.4 Định lý Pappus Cho A, B, C thẳng hàng, D, E, F thẳng hàng. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AE và BD; AF và CD; BF và CE. Khi đó M, N, P thẳng hàng. Nhận xét: Thực chất định lý Pappus là một trường hợp đặc biệt của định lý Pascal khi đường conic suy biến thành cặp đường thẳng. 1.2.5. Định lý Desargues Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC và A' B 'C ' . Nếu các đường thẳng AA ' , BB ' , CC 'đồng quy tại một điểm và các cặp đường thẳng BC và B 'C ',CA và C ' A', AB và A ' B ' cắt nhau thì các giao điểm của chúng thẳng hàng. 1.2.6 Định lý Simson Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Giả sử P là một điểm nằm trên (O) sao cho P không trùng với các đỉnh A, B, C của tam giác. Giả sử A 0, B0, C0 là hình chiếu 8
10. của P trên các cạnh BC, CA, AB. Khi đó A0, B0, C0 thẳng hàng. Đường thẳng chứa A0, B0, C0 được gọi là đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC. 1.2.7 Định lí Steiner (Đường thẳng Steiner) Cho tam giác ABC, P là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi A1, B1, C1 là các điểm đối xứng của P qua BC, CA, AB. Khi đó A 1, B1, C1 thuộc một đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Đường thẳng chứa A 1, B1, C1 được gọi là đường thẳng Steiner của P đối với tam giác ABC. 1.2.8 Định lý Carnot Lazare Nicolas Marguerite, Hầu tước Carnot (1753-1823) là nhà toán học, kỹ sư, chính trị gia, nhà chỉ huy quân sự người Pháp. Henri Brocard (1845 - 1922) là nhà Toán học Pháp. Ông sinh năm 1845 tại Meuse – Pháp và mất tại Luân Đôn – Anh. Nội dung định lý Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P. Các đường thẳng x, y, z theo thứ tự đi qua M, N ,P và theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB. Khi đó x, y, z đồng quy khi và chỉ khi (MB2 – MC2) + (NC2 – NA2) +( PA2 – PB2) = 0. 1.2.9 Định lý Brocard Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O). Đường thẳng AD cắt BC tại M, đường thẳng AB cắt CD tại N, đường thẳng AC cắt BD tại I. Khi đó điểm O là trực tâm của tam giác MIN. 1.3. Các phép biến hình trong mặt phẳng Các phép biến hình trong mặt phẳng có vai trò đặc biệt trong hình học. Nó thể hiện cái nhìn động, cũng giống như ánh xạ, hàm số trong giải tích vậy. Nếu như phương pháp cổ điển mang đậm vẻ đẹp tĩnh tại, sâu xa thì phép biến hình lại mang vẻ đẹp hiện đại, năng 9
11. động và thường xuyên biến đổi, chuyển hoá. Tuy nhiên, trong một chương nhỏ của chuyên đề này thì không thể khai thác hết được những vẻ đẹp sâu xa đó. Ở đây, chỉ xin đưa ra những nét chấm phá khái quát nhất về các phép biến hình, làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo sau này của mình. Phép biến hình là một song ánh trong mặt phẳng vào chính nó và được chia làm ba loại: - Các phép biến hình đẳng cự: là những phép biến hình giữ nguyên hình dạng và kích thước. - Các phép biến hình đồng dạng: là những phép biến hình chỉ giữ lại hình dạng các vật. - Phép biến hình bảo giác: là những phép biến hình chỉ giữ nguyên góc giữa các đường. 1.4 Hàng điểm điều hoà - Cực và đối cực 1.4.1 Định nghĩa tỉ số kép - Bộ bốn điểm đôi một khác nhau, có kể đến thứ tự , cùng thuộc một đường thẳng được gọi là một hàng điểm. - Tỉ số kép của hàng điểm A, B, C, D là một số, kí hiệu là ABCD và được xác CA DA định như sau: ABCD : CB DB 1.4.2. Các tính chất của tỉ số kép: +) ABCD CDAB BADC DCBA 1 1 +) ABCD BACD ABDC +) ABCD 1 ACBD 1 DBCA +) Nếu ABCD ABCD' thì D  D' +) ABCD 1 1.4.2. Các định nghĩa và tính chất hàng điểm điều hòa 10
12. 1.4.2.1 Định nghĩa: Nếu ABCD 1 thì hàng điểm A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa. CA DA Nói cách khác nếu thì hàng điểm A, B, C, D được gọi là hàng điểm CB DB điều hòa. 1.4.2.2 Tính chất Hệ thức Descartes 2 1 1 ABCD 1 AB AC AD Hệ thức Newton: 2 ABCD 1 IA IC.ID ( I là trung điểm của đoạn AB ) Hệ thức Maclaurin: ABCD 1 AC.AD AB.AJ (J là trung điểm của đoạnC D ) 1.4.3 Tỉ số kép của chùm đường thẳng - Chùm điều hòa 1.4.3.1. Chùm đường thẳng và tỉ số kép của nó: Định lí 1 Cho a,b,c,d là chùm đường thẳng tâm O . Đường thẳng không đi qua O theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A, B, C, D . Đường thẳng ' không đi qua O theo thứ tự cắt a,b,c C ' A' tại A', B', C '. Khi đó '/ / d ABCD . C 'B' Định lí 2 Cho a,b,c,d là chùm đường thẳng tâm O . Đường thẳng không đi qua O theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A, B, C, D . Đường thẳng ' không đi qua O theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A', B', C ', D'. Khi đó ABCD A'B'C 'D' . Từ định lí 2, ta nhận thấy, tỉ số kép ABCD không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng . Khi đó giá trị không đổi của tỉ số kép ABCD được gọi là tỉ số kép của chùm đường thẳng a,b,c,d kí hiệu là abcd hoặc O abcd với O là tâm của chùm. 11
13.     sin OA,OC sin OB,OC Từ đó ta suy ra abcd ABCD   :   sin OA,OD sin OB,OD Chùm điều hòa: Định nghĩa: Chùm a,b,c,d được gọi là chùm điều hòa nếu abcd 1 Tính chất: Với chùm điều hòa a,b,c,d , các điều kiện sau là tương đương: a) c  d. b) c là một phân giác của góc tạo bởi a, b . c) d là một phân giác của góc tạo bởi a, b . Một số hàng điểm điều hòa cơ bản Bài toán 1. Cho tam giác ABC . Gọi AD, AE tương ứng là đường phân giác trong, đường phân giác ngoài của tam giác ABC . Khi đó BCDE 1. Chứng minh Sử dụng tính chất đường phân giác và định nghĩa. Bài toán 2. Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng BC, CA, AB . Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt các đường BC, CA, AB tại M , N, P . Hai đường thẳng BC, NP cắt nhau tại Q . Khi đó BCMQ 1. Chứng minh Sử dụng định lý Ceva và Menelaus. Bài toán 3. Từ điểm S bên ngoài đường tròn O , kẻ tới O các tiếp tuyến SA, SB A, B O . Một đường thẳng qua S , cắt đường tròn O tại M , N và cắt AB tại I . Khi đó SIMN 1. Chứng minh 1.4.3 Định nghĩa và tính chất của tứ giác điều hòa Định lý mở đầu Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), khi đó với mọi M ￿ (O) thì M(ABCD) không đổi. Tỉ số đó được gọi là tỉ số kép của bốn điểm trên đường tròn, kí hiệu (ABCD). Chứng Minh 12
14. A B M C D Ta có     sin MA,MC sin MB,MC M ABCD   :   = const. sin MA,MD sin MB,MD Định nghĩa Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), ta nói ABCD là tứ giác điều hoà nếu (ACBD) =- 1. Các tính chất của tứ giác điều hoà Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), khi đó Tính chất 1 Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau trên đường thẳng BD. Tính chất 2 AB CB Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi . AD CD Tính chất 3 Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi các đường phân giác trong của góc  BAD và BCD cắt nhau trên BD. 5.1.2. Các ví dụ áp dụng Phần này, các ví dụ tôi đưa ra sẽ chỉ tập trung vào việc vận dụng các hàng điểm điều hoà cơ bản trên và các bài toán liên quan tới tứ giác điều hoà. 13
15. 1.5 Cực và đối cực Cực và đối cực là một phần lý thuyết khá lạ đối với hình học phổ thông, ngay cả với học sinh chuyên Toán. Đây là một công cụ khá mạnh và lý thú trong hình học phẳng. Nó đưa ra cái nhìn rất khái quát đối với các bài toán định tính. 1.5.1 Các tính chất Tính chất 1 Cho điểm S và đường tròn (O). P nằm trên đường đối cực của S đối với (O). Đường thẳng SP cắt (O) tại M, N. Khi đó (SPMN) = - 1 Tính chất 2 Cho đường tròn (O), hai điểm S, P trên mặt phẳng. SP cắt (O) tại M, N. Nếu (SPMN) = - 1 thì S nằm trên đường đối cực của P và P nằm trên đường đối cực của S đối với (O). Tính chất 3 (Định lí La Hire) Cho đường tròn (O) và hai điểm S, P. Khi đó S nằm trên đường đối cực của P khi và chỉ khi P nằm trên đường đối cực của S đối với (O). Tính chất 4 Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C. Khi đó A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đối với (O) đồng quy hoặc đôi một song song. Tính chất 5 Bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi bốn đường đối cực của chúng lâp thành chùm điều hoà. Tính chất 6 Nếu d là đường đối cực của S đối với đường tròn (O) thì OS  d. 1.5.2 Cách dựng đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn TH1: S nằm ngoài O. Kẻ hai tiếp tuyến SM, SN. Khi đó MN là đường đối cực của S. 14
16. M S O N TH2: S nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại S chính là đường đối cực cần dựng. TH3: S nằm trong đường tròn. Kẻ hai dây cung AC, BD qua S. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB và CD; AD và BC. Khi đó MN chính là đường đối cực của S. N A B S O D C M 1.5.3 Cách tìm cực của một đường thẳng đối với một đường tròn TH1: Đường thẳng d tiếp xúc (O) tại S. Khi đó S là cực của d. TH1: Đường thẳng d không tiếp xúc (O). Lấy điểm M bất kì thuộc d. Kẻ hai cát tuyên MAD, MBC. Khi đó S là giao điểm của AC và BD. M A B S O D C 15
17. Chương 2. Khai thác - phát triển một số bài toán hình học phẳng Trong phần này, tôi sẽ cố gắng tập trung làm rõ một số hướng phát triển mở rộng bài toán, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy hình học phẳng cho lớp chuyên toán cũng như đội tuyển học sinh giỏi QG môn toán. Mục tiêu chính của đề tài là việc phát triển các bài toán mới từ những bài toán cơ bản, thường gặp nhất trong khi giảng dạy hình học phẳng. 16
18. 2.1 Phát triển một bài toán quen thuộc về đường tròn nội tiếp 2.1.1 Nội dung bài toán Trong chương trình hình học trung học cơ sở các bạn học sinh thường bắt gặp bài toán quen thuộc sau: Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). a) (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt BI tại K. Chứng minh rằng BKC = 900. A E K F I B C SB AB2 b) Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại S. Khi đó . SC AC2 A S B C Việc chứng minh bài toán trên rất đơn giản, ở đây, tôi xin phép không trình bày lại. 2.1.2 Ứng dụng Bây giờ ta sẽ đi tìm hiểu, khai thác các bài toán trên. 17
19. Bắt đầu từ phần a) ta thấy rằng, nếu CI cắt EF tại L thì cũng được BLC = 900. Từ đó dẫn đến bài toán sau: Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Đường tròn (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt BI, CI lần lượt tại K, L. Khi đó B, C, K, L đồng viến. Lời giải A E K L F I B C Theo bài trên ta có BKC = BLC = 900 nên B, C, L, K thuộc đường tròn đường kính BC. (đpcm) Tiếp tục vậy, nếu xét trong tam giác BIC thì K, L, D là các chân đường cao nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác này chính là đường tròn Euler của tam giác IBC. Do đó nó sẽ đi qua trung điểm BC. Từ đó dẫn đến bài toán thi HSG QG năm 2009 như sau. Bài 3. Cho B, C cố định và một điểm A di động sao cho A, B không thẳng hàng. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt BI, CI lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DKL luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải 18
20. A E K L F I B D M C Gọi M là trung điểm BC suy ra M cố định. Theo bài toán trên ta có BL; CK, ID là các đường cao của tam giác IBC. Khi đó (DKL) là đường tròn Euler của tam giác IBC nên (DKL) đi qua M. Từ đó có đpcm. Như chúng ta đã biết, trong một tam giác đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và bốn đường tròn bàng tiếp. từ đó dẫn đến bài toán sau: Bài 4. Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt BI, CI lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của tam giác IBC. Lời giải A K E L F I B D M C 19