Một số bài toán về mặt cầu trong hệ toạ độ Oxyz

Nội dung tài liệu: Một số bài toán về mặt cầu trong hệ toạ độ Oxyz

1. MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 2 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ I. Cơ sở lý thuyết 1. Khái niệm mặt cầu ..3 2. Vị trí tương đối giữa điểm, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu ..3 3. Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu . 5 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, một đường thẳng . 6 II. Các ví dụ minh hoạ 1. Một số bài toán về sự tương giao giữa mặt cầu với đường thẳng, mặt phẳng ..6 2. Một số bài toán tìm điểm trên mặt cầu 13 3. Một số bài toán khác . 28 PHẦN III: KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...32 1
2. PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học không gian có ứng dụng rất rộng trong môn toán cũng như trong các lĩnh vực của cuộc sống: kiến trúc, xây dựng, khoa học kĩ thuật, Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy không gian, logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hình học không gian được áp dụng trong các khái niệm như hình chiếu, mặt phẳng, góc, đường cong, đường thẳng và các khối hình như hình hộp, hình lập phương, hình cầu, hình trụ,... Hình học không gian cung cấp cơ sở cho các bài toán và thuật toán trong tư duy không gian và tính toán không gian. Nhiều học sinh thường gặp khó khăn trong việc học chuyên đề này. Với mục đích cung cấp thêm một tài liệu tham khảo giúp các em học sinh chuẩn bị tốt nhất cho kì thi TN THPT , tôi nghiên cứu chuyên đề “ Một số bài toán về mặt cầu trong hệ toạ độ Oxyz ”. Chuyên đề giới thiệu một số bài toán nâng cao về mặt cầu xét trong hệ trục toạ độ Oxyz . Nội dung của chuyên đề đề cập đến các bài toán tìm điểm, tìm phương trình mặt phẳng, mặt cầu, tính độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, diện tích tam giác, có yếu tố giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc không. Cơ sở lí thuyết được trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống. Tiếp theo phần lí thuyết là các ứng dụng được thể hiện qua các ví dụ. Sau các ví dụ là hệ thống các bài tập để bạn đọc tự giải và phần hướng dẫn các bài tập này được đặt ở cuối chuyên đề. Chuyên đề này dùng để bồi dưỡng và nâng cao khả năng giải toán toạ độ không gian, đồng thời có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho những người yêu thích môn toán. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống một số bài tập mặt cầu gắn với toạ độ cho các học sinh. Đưa ra hệ thống các bài tập mức độ vận dụng, vận dụng cao, phát triển các bài tập một cách tự nhiên. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đưa ra hướng tiếp cận giải quyết một số bài hình học toạ độ, hệ thống lý thuyết khoa học, đầy đủ. IV. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA CHUYÊN ĐỀ Đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản về mặt cầu và các ví dụ minh hoạ nhằm củng cố các công thức về toạ độ, các vấn đề liên quan đến mặt cầu. 2
3. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ I. Cơ sở lý thuyết 1. Khái niệm mặt cầu a) Định nghĩa Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. R A I B Kí hiệu: SIR ; S I;/ R M IM R. b) Các dạng phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình chính tắc Mặt cầu (S) có tâm I a;; b c , bán kính R 0 . S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 Dạng 2 : Phương trình tổng quát Sx :2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 czd 0 với a2 b 2 c 2 d 0 . (S) có tâm I a;; b c , bán kính: R a2 b 2 c 2 d . 2. Vị trí tương đối giữa điểm, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu a) Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu Cho mặt cầu SIR ; và điểm A . + Nếu IA R thì A nằm trong mặt cầu S . + Nếu IA R thì A nằm trên mặt cầu S . + Nếu IA R thì A nằm ngoài mặt cầu S . b) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu SIR ; và mặt phẳng P . 3
4. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó : + Nếu d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. M1 R I M2 H P + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. I R P H + Nếu d R : Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán kính r R2 IH 2 . I R d I' r α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu SIR ; và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó : + IH R : không cắt mặt cầu. 4
5. H R I + IH R : tiếp xúc với mặt cầu. là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm. H R I + IH R : cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. I Δ R H B A * Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: d I;. IH 2 2 2 2 AB + Lúc đó: R IH AH IH . 2 3. Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu Cho mặt cầu SIR ; . + Đường thẳng là tiếp tuyến của (S) d I ; R . + Mặt phẳng là tiếp diện của (S) d I ; R . 5
6. 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, một đường thẳng + Khoảng cách từ điểm M x0;; y 0 z 0 tới mặt phẳng P : ax by cz d 0 là: ax by cz d d M, P 0 0 0 . a2 b 2 c 2 + Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d đi qua M và có vtcpu là:  u, AM d(,) A d . u II. Các ví dụ minh hoạ 1. Một số bài toán về sự tương giao giữa mặt cầu với đường thẳng, mặt phẳng Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 1 2 z2 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới S , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn C . Tính bán kính r của đường tròn C . 2 3 3 2 A. r . B. r . C. r . D. 2. 3 3 3 Hướng dẫn giải: Mặt cầu S có tâm I 1;1;0 và bán kính R 2 .  Ta có IM 1;2;1 và IM 6 . Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ Oxyz đến mặt cầu, khi đó MH IM2 R 2 2 . Gọi O là tâm của đường tròn C khi đó IM HO và HO r . HI. HM 2 2 2 3 Ta có HI.. HM HO IM r . IM 6 3 x 1 Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 : y 1, t ; z t x 2 x 1 y z 1 d2 :,; y u u :. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả d1, d 2 1 1 1 z 1 u và có tâm thuộc đường thẳng . 6
7. 2 2 2 22 2 1 1 1 5 A. x 1 y z 1 1. B. x y z . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 5 1 5 9 C. x y z . D. x y z . 2 2 2 2 4 4 4 16 Hướng dẫn giải:  Đường thẳng d đi qua điểm M 1;1;0 và có véc tơ chỉ phương u 0;0;1 . 1 1 d1  Đường thẳng d đi qua điểm M 2;0;1 và có véc tơ chỉ phương u 0;1;1 . 2 2 d2 Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì I nên ta tham số hóa I 1 t ; t ;1 t , từ đó   IM1 t;1 t ; 1 t , IM 2 1 t ; t ; t . Theo giả thiết ta có d I;; d1 d I d 2 , tương đương với     IM;; u IM u 22 2 1d1 2 d 2 1 t t 2 1 t   t 0 . u u 1 2 d1 d 2 Suy ra I 1;0;1 và bán kính mặt cầu là R d I; d1 1. Phương trình mặt cầu cần tìm là x 1 2 y2 z 1 2 1. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;1; 2 , mặt phẳng P : x y z 1 0 và mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 7 0 . Gọi là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng P và cắt mặt cầu S tại hai điểm B ,C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu S . Phương trình của đường thẳng là x t x t x t x t A. y 1 . B. y 1 t . C. y 1 t . D. y 1 t . z 2 t z 2 t z 2 z 2 Hướng dẫn giải: 7
8. S có tâm I 1;2;0 và bán kính R 12 2 2 7 2 3 .  AI 1;1;2 AI 6 R A nằm trong mặt cầu S và A nằm trên dây cung BC 1 . 1 RR2 2 R2 S IB. IC .sin BIC sin BIC nên diện tích IBC đạt giá trị lớn nhất là IBC 2 2 2 2 sinBIC 1 BIC 90  IBC vuông cân tại I BC IC 2 R 2 2 6 BC Gọi J là trung điểm của BC . Ta có IJ BC và IJ 6 2 . 2 AIJ vuông tại J AI IJ , kết hợp thêm với 1 và 2 ta có IJ AI AJ  A là trung điểm của BC và IA BC . P có vectơ pháp tuyến n P 1;1;1 có giá vuông góc với .  Vậy nhận u n, AI 1; 1;0 làm vectơ chỉ phương và đi qua A 0;1; 2 P x t : y 1 t . z 2 Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) : x 1 2 y 2 2 z 3 2 27 . Gọi là mặt phẳng đi qua 2 điểm A 0;0; 4 , B 2;0;0 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C sao cho khối nón có đỉnh là tâm của S , đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng ax by z c 0 , khi đó a b c bằng: A. 8. B. 0. C. 2. D. -4. Hướng dẫn giải: I R h B r A 8
9. + Vì qua A ta có: ( 4) c 0 c 4. + Vì qua B ta có: 2a c 0 a 2 . : 2x by z 4 0 . + Mặt cầu ()S có tâm I 1; 2;3 , R 3 3 . 2 2b 3 4 2 b 5 + Chiều cao khối nón: h d I , . 4 b2 1 b 2 5 2 2 2 2 2b 5 2b 5 + Bán kính đường tròn: r R h 27 27 2 . b2 5 b 5 2 1 1 2b 5 2b 5 + Thể tích khối nón: V r2 h 27 2 2 3 3 b 5 b 5 + Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án. Cách 2: 2b 5 Đặt t và xét hàm số f t 27 t2 t trên đoạn 0;3 3 . b2 5 t 3 Ta có: f t 27 3 t 2 ; f t 0 . Ta có bảng biến thiên: t 3 l Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi 2 2b 5 2 2 2 t 3 3 4 b 20 b 25 9 b 45 b2 5 5b2 20 b 20 0 b 2 . Vì vậy a b c 4 . Ví dụ 5. Cho hai điểm AB 0;8;2 , 9; 7;23 và mặt cầu 2 2 2 S : x 5 y 3 z 7 72. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và tiếp 9
10. xúc với mặt cầu S sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P là lớn nhất. Giả sử n 1; m ; n là một vectơ pháp tuyến của P . Lúc đó A. m. n 4 . B. m. n 2 . C. m. n 4 . D. m. n 2 . Hướng dẫn giải: P đi qua điểm A 0;8;2 và có vectơ pháp tuyến n 1; m ; n P : x my nz 8 m 2 n 0 . 5 11m 5 n P tiếp xúc với mặt cầu S 6 2 . 1 m2 n 2 915 m 21 n 511 m 5 n 44 m 16 n d d B; P . 1 m2 n 2 1 m 2 n 2 2 5 11m 5 n 1 m 4 n 12 1 4 2 . 1 m 2 n 2 4 6 2 4 18 2 . 1 m2 n 2 1 m 2 n 2 1 m2 n 2 1 1 4 m 1 dmax 18 2 m . n 4 . 1 m n n 4 Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 9 0 và điểm A 1;2; 3 . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương u 3;4; 4 cắt P tại B . Điểm M thay đổi trên P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 90 . Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng 36 A. . B. 41 . C. 6. D. 5 . 5 Hướng dẫn giải: 10
11. x 1 3 t Phương trình đường thẳng d: y 2 4 t nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ: z 3 4 t x 1 3 t y 2 4 t 213 t 224 t 34 t 90 t 1 B 2;2;1 . z 3 4 t 2x 2 y z 9 0 Do M nhìn đoạn AB dưới một góc 90 nên M thuộc mặt cầu S có đường kính AB 41 . Lại do MP nên M thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S và mặt phẳng P . Do MB là một dây cung của đường tròn này nên MB lớn nhất khi nó là đường kính của 1 đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S và mặt phẳng P . Gọi E ;0; 1 là trung 2 điểm AB thì E là tâm mặt cầu S và d E; P 3 . Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là 2 AB 2 41 5 r d E; P 9 . Vậy MBmax 2 r 5. 2 4 2 Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0 và B 2;3;4 . Gọi P là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu 2 2 2 2 2 2 S1 : x 1 y 1 z 4 , S2 : x y z 2 y 2 0 . Xét M , N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất của AM BN bằng A. 5. B. 3. C. 6. D. 4. Hướng dẫn giải: 11
12. 2 2 2 x 1 y 1 z 4 x2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 0  Xét hệ x 0 2 2 2 2 2 2 x y z 2 y 2 0 x y z 2 y 2 0 Vậy P : x 0 P chính là mặt phẳng Oyz . Gọi C 0;0;0 và D 0;3;4 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 1;0;0 và B 2;3;4 trên mặt phẳng P . Suy ra AC 1 , BD 2 , CD 5 .  Áp dụng bất đẳng thức a2 b 2 c 2 d 2 a c 2 b d 2 , ta được AM BN AC2 CM 2 BD 2 DN 2 AC BD 2 CM DN 2 9 CM DN 2 Lại có CM MN ND CD 5 nên suy ra CM ND 4 . Do đó AM BN 5 . AC BD Đẳng thức xảy ra khi C, M , N , D thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là CM DN 4 16 7 28 M 0; ; và N 0; ; . 5 15 5 15 Vậy giá trị nhỏ nhất của AM BN là 5. CÁC BÀI TỰ LUYỆN 1 3 2 2 2 Bài 1. Trong không gian Oxyz , cho M ; ;0 và mặt cầu S : x y z 8 . 2 2 Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm AB, phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB . A. S 7. B. S 4. C. S 2 7. D. S 2 2. Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu của O xuống d , đặt OH x 0 x 1 . Khi đó 1 AB 2 R2 OH 2 2 8 x 2 và S OH. AB x 8 x2 . AOB 2 Khảo sát hàm số f x x8 x2 trên 0;1 thu được giá trị lớn nhất của hàm số là 7 Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 5 3 7 3 5 3 7 3 A ; ;3 , B ; ;3 2 2 2 2 12
13. và mặt cầu ():(S x 1)2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 6 . Xét mặt phẳng (P ) : ax by cz d 0 , a, b , c , d : d 5 là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm AB, . Gọi ()N là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ()S và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ()P và ()S . Tính giá trị của T a b c d khi thiết diện qua trục của hình nón ()N có diện tích lớn nhất. A. T 4 . B. T 6. C. T 2. D. T 12 . Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm AB 3; 2;6 , 0;1;0 và mặt 2 2 2 cầu S : x 1 y 2 z 3 25. Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua AB, và cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c A. T 3 B. T 4 C. T 5 D. T 2. Bài 4. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 0;0;2 và B 3;4;1 . Gọi P là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu 2 2 2 2 2 2 S1 : x 1 y 1 z 3 25, S2 : x y z 2 x 2 y 14 0 . M , N là hai điểm thuộc P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất của AM BN là A. 34 1. B. 5. C. 34 . D. 3. 2. Một số bài toán tìm điểm trên mặt cầu Ví dụ 8. Cho điểm A và mặt cầu S có tâm I, bán kính R, M là điểm di động trên S . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM . Hướng dẫn giải: Xét A nằm ngoài mặt cầu (S ). Gọi MM1, 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ()S AM1 AM 2 và () là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI. Khi 13
14.  đó () cắt ()S theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M1 MM 2 90 , nên AMM 2 và AM1 M là các góc tù, nên trong các tam giác AMM 1 và AMM 2 ta có AI R AM1 AM AM 2 AI R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R AI AM R AI Vậy minAM | AI R |,max AM R AI Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;2; 2 ; B 3; 3;3 . MA 2 Điểm M trong không gian thỏa mãn . Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng MB 3 5 3 A. 6 3 . B. 12 3 . C. . D. 5 3 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi M x;; y z . MA 2 Ta có 3MA 2 MB 9MA2 4 MB 2 MB 3 9 x 22 y 2 2 z 2 2 4 x 3 2 y 3 2 z 3 2 x2 y 2 z 2 12 x 12 y 12 z 0 x 6 2 y 6 2 z 6 2 108. Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu S tâm I 6;6; 6 và bán kính R 108 6 3 . 2 2 Do đó OM lớn nhất bằng OI R 6 62 6 6 3 12 3 . Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2 t ;2 t ;0 , B 0;0; t (t 0 ).       a Điểm P di động thỏa mãn OPAP. OPBP . APBP . 3 . Biết rằng có giá trị t với b a a, b nguyên dương và tối giản sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3. Khi đó giá trị b của Q 2 a b bằng A. 5 B. 13 . C. 11. D. 9. Hướng dẫn giải:    Gọi P x;; y z , ta có: OP x;; y z , AP x 2 t ; y 2 t ; z , BP x;; y z t       Vì P x;; y z thỏa mãn OPAP. OPBP . APBP . 3 14
15. 4 4 2 3x2 3 y 2 3 z 2 4 txtytz 4 2 3 0 xyz 2 2 2 tx ty tz 1 0 3 3 3 2t 2 t t 2 Nên P thuộc mặt cầu tâm I ; ; , R t 1 . 3 3 3 Ta có OI t R nên O thuộc phần không gian phía trong mặt cầu. Để OPmax thì PIO,, thẳng hàng và OP OI R . 4 Suy ra OP OI R 3 t t2 1 . Từ đó tìm được t Suy ra a 4, b 3 max 3 Vậy, Q 2 a b 11. Ví dụ 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1;0;0 , B 2;1;3 , 2 2 C 0;2; 3 , D 2;0; 7 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu S : x 2 y 4 z2 39   thỏa mãn MA2 2 MB . MC 8. Biết rằng đoạn thẳng MD đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? A. 7 . B. 2 7 . C. 3 7 . D. 4 7 . Hướng dẫn giải:   Giả sử M x;; y z , ta có: MA2 2 MBMC . 8 x 2 yz 2 2 2 x 2 y 7 0 1 . Mà MS nên ta có: x2 y 2 z 2 4 x 8 y 19 0 2 Trừ 1 , 2 theo vế ta được: x y 2 0 . Suy ra M thuộc đường tròn T là giao của S với mặt phẳng P : x y 2 0 . Thay tọa độ của D vào phương trình của P và của S thấy thỏa mãn nên DT , suy ra giá trị lớn nhất của MD bằng đường kính của T . S có tâm I 2;4;0 và bán kính R 39 . Khoảng cách từ I với P là h d I; P 4 2 . 15
16. Bán kính của T là r R2 h 2 7 . Suy ra maxMD 2 r 2 7 . Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 2 2 2 ABC 8;5; 11 , 5;3; 4 , 1;2; 6 và mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 9. Gọi    điểm M a;; b c là điểm trên S sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b . A. 6. B. 2 . C. 4 . D. 9. Hướng dẫn giải:    Gọi N là điểm thỏa mãn NA NB NC 0 , suy ra N 2;0;1 . Khi đó:              MA MB MC MN NA MN NB MN NC NA NB NC MN MN .    Suy ra MA MB MC nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất. Mặt cầu S có tâm I 2;4; 1 nên x 2 2 t  NI 4; 4; 2 2; 2; 1 . Phương trình NI y 4 2 t . Thay phương trình NI vào z 1 t 2 2 2 2 t 1 phương trình S ta được: 2t 2 t t 9 t 1 . t 1 Suy ra NI cắt S tại hai điểm phân biệt NN1 3;6; 2 , 2 0;2;0 . Vì NN1 NN 2 nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN 2 . Vậy M 0;2;0 là điểm cần tìm. Suy ra: a b 2. 16
17. 9 Ví dụ 13. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 0 và 2   hai điểm A 0;2;0 , B 2; 6; 2 . Điểm M a;; b c thuộc S thỏa mãn MA. MB có giá trị nhỏ nhất. Tổng a b c bằng A. 1. B. 1 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải: 9 2 2 2 3 S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 0 S : x 1 y 2 z 1 . 2 2 6 Mặt cầu S có tâm I 1;2;1 , bán kính R . 2 Vì IA 2 R và IB 82 R nên hai điểm A , B nằm ngoài mặt cầu S . Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì K 1; 2; 1 và K nằm ngoài mặt cầu S .       Ta có: MA. MB MK KA . MK KB      MK2 MK.. KA KB KA KB MK2 KA 2 .   Suy ra MA. MB nhỏ nhất khi MK 2 nhỏ nhất, tức là MK nhỏ nhất. Đánh giá: IM MK IK R MK IK MK IK R . Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK R , xảy ra khi I , M , K thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm I , K . Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu S .  Có IK 2; 4; 2 , IK 22 4 2 2 2 2 6 4 R 4 IM . 1 a 2 4 a 1 2   Suy ra IK 4 IM 4 4 b 2 b 1 . 1 2 4 c 1 c 2 Vậy a b c 1. Ví dụ 14. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 5 điểm A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0; 1;0 , D 0;1;0 , E 0;3;0 . M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S ) : x2 ( y 1) 2 z 2 1. Giá trị      lớn nhất của biểu thức P 2 MA MB MC 3 MD ME là: A. 12. B. 12 2 . C. 24 . D. 24 2 . Hướng dẫn giải: 17
18. Mặt cầu S : tâm I 0;1;0 bán kính R 1 Gọi trọng tâm tam giác ABC là G 0;0;0 , trung điểm DE là N 0; 2;0 do GN, đều nằm trên S và I là trung điểm GN nên GN là đường kính của S        P 2 MA MB MC 3 MD ME 2 3 MG 3 2 MN 6 MG 6 MN 6 MG MN Ta có: MG MN 2 2 MG2 MN 2 2 GN 2 8 Suy ra MG MN 2 2 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 12 2 . Ví dụ 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 0; 1;3 , 2 2 2 B 2; 8; 4 , C 2; 1;1 và mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 14 . Gọi    M xMMM;; y z là điểm trên S sao cho biểu thức 3MA 2 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P xMM y . A. P 0. B. P 6. C. P 14 . D. P 3 14 . Hướng dẫn giải:        Gọi J là điểm thỏa mãn 3JA 2 JB JC 0 2JO 3 OA 2 OB OC 0     2OJ 3 OA 2 OB OC J(3;6;9) .            Mà 3MA 2 MB MC 2 MJ 3 JA 2 JB JC nên 3MA 2 MB MC 2 MJ     Do đó 3MA 2 MB MC 2 MJ . min min Mặt khác: S có tâm I 1;2;3 , bán kính R 14 và IJ 2 14 R điểm J nằm ngoài mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu S tại hai điểm MM1, 2 . x 1 2 t Phương trình đường thẳng IJ : y 2 4 t , t . z 3 6 t 18
19. x 1 2 t 1 t y 2 4 t 1 2 Xét hệ phương trình: . z 3 6 t 1 t 2 2 2 2 2 x 1 y 2 z 3 14 Suy ra MM1 2;4;6, 2 0;0;0 , MJMJ1 14 ; 2 3 14 .     Vậy 3MA 2 MB MC 2 MJ MM  1 . min min P xMM y 2 4 6 . 2 2 Ví dụ 16. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 4 z2 8 và điểm AB 3;0;0 ; 4;2;1 . Điểm M thay đổi nằm trên mặt cầu, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2 MB . A. P 2 2 . B. P 3 2 . C. P 4 2 . D. P 6 2 . Hướng dẫn giải: Cách 1 Nhận xét: điểm AB, nằm ngoài mặt cầu S . Mặt cầu S có tâm IR 1;4;0 , 2 2 . Ta có: IA 4 2 2 R , E IA  S E 1;2;0 . Gọi F là trung điểm của IE F 0;3;0 . IF1 IM Tam giác IFM và IMA có AIM chung và AIM MIF . IM2 IA MA AI Suy ra 2 MA 2 MF . FM MI Ta có: MA 2 MB 2 MF MB 2 FB 6 2 . 19
20. Vì F nằm trong S và B nằm ngoài S nên dấu '' '' xảy ra khi M BF  S . Cách 2   Giả sử M x;; y z . Ta có: AM x 3 ; y ; z , BM x 4 ; y 2 ; z 1 . 2 2 Và x 1 y 4 z2 8 3 x 12 y 4 2 z2 8 0 . 2 2 2 2 Ta có: P MA 2 MB x 3 y2 z 2 2 x 4 y 2 z 1 x 32 y2 z 2 3 x 1 2 y 4 2 z 2 8 2 x 4 2 y 2 2 z 1 2 44244362x2 y 2 y z 2 x 4 2 y 2 2 z 1 2 2 x2 y 3 2 z 2 x 4 2 y 2 2 z 1 2 2 x2 y 3 2 z 2 4 x 2 2 y 2 1 z 2 Áp dụng bất đẳng thức Minkowxki: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 a d 2 b e 2 c f 2 . a b a Dấu bằng xảy ra khi: 0 . d e f P24 x x 2 y 32 y 2 z 1 z 2 2411622 2 2 . x y 3 z t 0 Dấu bằng xảy ra khi: 4 x 2 y 1 z 2 2 2 x 1 y 4 z 8 4 4 133 4t x x 4t t 1 x 23 133 t 1 2t 3 34 133 y 2t 3 y t 1 y t 1 23 133 . t z t 1 133 t 1 z z 23 133 2 2 2 t 1 5t 1 2 t 1 t 2 8 22t 2 t 6 0 1 133 t 1 t 1 t 1 t 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 2 . 20