Phát triển bài Toán tìm giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số trên cơ sở bài Toán tìm giới hạn cơ bản

Nội dung tài liệu: Phát triển bài Toán tìm giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số trên cơ sở bài Toán tìm giới hạn cơ bản

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TRÊN CƠ SỞ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CƠ BẢN 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử tháng 3 năm 2020 3. Các thông tin cần bảo mật : Không 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: Trong chương trình hình học lớp 11 có một phần rất quan trọng của Toán phổ thông đó là bài toán tìm giới hạn của dãy số , giới hạn của hàm số. Đây cũng là phần kiến thức đầu tiên khi học sinh bắt đầu học vào giải tích , Đây là dạng toán mới đối với học sinh phổ thông khi mới tiếp cận vào giải tích.Khi giải các bài toán tìm giới hạn của dãy số và của hàm số theo hình thức trắc nghệm đa số học sinh sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ tìm ra đáp án nên học sinh sẽ lạm dụng máy tính cầm tay tìm ra đáp án mà không rèn phương pháp toán.Chẳng hạn đối với bài toán tìm giới hạn của dãy số lim 3 8n3 6n2 4n2 10n 1 học sinh không cần nắm được phương pháp giải cũng như bản chất của bài toán học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra đáp án.Như vậy với một lớp các bài toán trước đây chỉ hỏi học sinh với câu hỏi tìm giới hạn của hàm số thì sẽ làm cho nhiều học sinh lạm dụng máy tính cầm tay. Tuy nhiên trong các đề thi với hình thức trắc nghiệm với các câu hỏi mức độ vận dụng và vận dụng cao thì máy tính sẽ không hỗ trợ được cho học sinh nhiều . Chẳng hạn với bài toán trên ở mức độ vận dụng bài toán sẽ được thay đổi như sau Cho L lim 3 8n3 6n2 an2 bn 1 2. Khi đó a 2b có giá trị bằng bao 5 nhiêu? Khi đó buộc học sinh phải hiểu rõ bản chất của bài toán , hiểu rõ phương
2. 2 pháp giải để vận dụng tốt giữa hình thức tự luận và trắc nghiệm nhìn nhận bài toán trắc nghiệm dựa trên bài toán tự luận được nhanh và chính xác . Chuyên đề sẽ giúp học sinh rèn luyện và có kỹ năng tốt hơn đối với các bài toán vận dụng , vận dụng cao tìm giới hạn của dãy số và tìm giới hạn của hàm số. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Thực trạng đứng trước một bài toán tìm giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao học sinh không hiểu rõ bản chất của bài toán cũng như phương pháp giải của bài toán thì thường lúng túng trước việc định hướng cách làm cũng nhơ kỹ năng thêm bớt tách các số hạng đề đưa bài toán giới hạn khó về các bài toán giới hạn cơ bản . Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình bài toán giới hạn khó về các bài toán giới hạn cơ bản người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Qua đó giúp cho học sinh làm nhanh và chính xác các câu hỏi về giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Kết quả, hiệu quả của vấn đề trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán không có tham số và có có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác phức tạp hơn và có chứa tham số học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán để vận dụng kỹ năng thêm bớt và biến đổi đưa bài toán phức tạp về các bài toán đơn giản hơn. Đặc biệt là đưa tham số vào các bài toán đó. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải toán đối với các bài toán vận dụng và vận dụng cao qua đó giúp học sinh làm các bài toán vận dụng, vận dụng cao về giới hạn bằng hình thức trắc nghiệm nhanh và hiệu quả.. Việc đưa nội dung này nhằm khai
3. 3 thác các kỹ năng khử các dạng vô định trong bài toán giới hạn, để định hướng tìm lời giải bài toán nhanh chóng và đảm bảo lựa chọn kết quả nhanh chính xác trong bài toán trắc nghiệm.Tránh cho học sinh lạm dụng máy tính cầm tay làm bài mà không hiểu bản chất vấn đề tôi đưa ra các dạng bài toán giới hạn có tham số và phân chia từng dạng rõ ràng giúp học sinh làm bài trắc nghiệm nhanh nhưng vẫn hiểu rõ bản chất của bài toán cũng như phương pháp giải của từng dạng bài cụ thể. 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến: Mục đích của chuyên đề khắc phục học sinh làm bài tập dạng giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số mà không hiểu bản chất của bài cũng như phương pháp giải của bài khi học sinh lạm dụng máy tính cầm tay. Bên cạnh đó giúp học sinh làm bài tập trắc nghiệm với các câu hỏi vận dụng , vận dụng cao dạng toán giới hạn trong các đề thi tốt nghiệp THPT hay đề thi HSG nhanh nhưng vẫn hiểu rõ và nắm chắc kiến thức 7. Nội dung: 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến * Giải pháp 1: - Tên giải pháp: Tạo tình huống trong dạy học bằng cách cho thêm tham số trong các hệ số của bài toán - Nội dung: Với bài toán giới hạn của dãy số L lim n2 2n n2 8n Ví dụ 1: Đưa ra bài toán: Tìm giới hạn 1 . A. L1 9.B. L1 5. C. L1 6 .D. L1 7 . L lim n2 2n n2 8n 5 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả 1 mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau L lim n2 2n an2 bn 5 S a b Thay đổi bài toán : Biết 1 . Tính
4. 4 A. S 9 .B. S 8. C. S 6 .D. S 7 . Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải 1 a n2 2 b n 1 a n2 2 b n 1 a n 2 b Ta có L1 lim lim lim n2 2n an2 bn 2 b 2 b n 1 a 1 a n n n n 1 a 0 a 1 Mà L1 5 2 b S 7 . 5 b 8 1 a Bằng cách tương tự thay đổi bài toán như sau L lim an2 2n n2 bn 5 S a b 1) Biết 1 . Tính A. S 9 .B. S 3. C. S 6 .D. S 5. L lim an2 bn n2 8n 5 S a b 2) Biết 1 . Tính A. S 9 .B. S 3. C. S 6 .D. S 5. 1 L lim 3 n3 2n2 1 3 n3 n2 Ví dụ 2: Đưa ra bài toán: Tìm giới hạn 2 . 2 1 3 A. L .B. L . 2 2 2 2 2 C. L .D. L 2 . 2 3 2 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả 1 1 L lim 3 n3 2n2 1 3 n3 n2 2 mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để 2 2 học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau
5. 5 1 Thay đổi bài toán : Cho L lim 3 n3 2n2 1 3 an3 bn2 . Tính S a 2b . 2 2 1 A. S . B. S 1. C. S 2 . D. S 0 . 2 Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải L lim 3 n3 2n2 1 3 an3 bn2 Ta có 4 a 1 n3 b 2 n2 1 lim 2 2 3 n3 2n2 1 3 n3 2n2 1.3 an3 bn2 3 an3 bn2 1 a 1 n b 2 n2 lim 2 2 . 2 1 2 1 b b 3 3 3 3 1 3 1 3 . a a n n n n n n a 1 0 a 1 1 b 2 1 Mà L4 1 a 2b 0 . 2 2 b 1 3 a 3 a 2 2 Vậy S 0 . Bằng cách tương tự thay đổi bài toán như sau : 1 1 L lim 3 an3 bn2 1 3 n3 n2 S a 2b 1) Cho 2 . Tính . 2 2 A. S 1. B. S 1. C. S 2 . D. S 0 . 1 2) Cho L lim 3 an3 2n2 1 3 n3 bn2 . Tính S a 2b . 2 2 A. S 1. B. S 1. C. S 2 . D. S 0 . Ví dụ 3: Đưa ra bài toán: Tìm giới hạn L lim 3 8n3 6n2 4n2 10n 1 . 3 A. L2 2 .B. L2 3. 2 1 C. L .D. L . 2 3 2 2 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả
6. 6 L lim 3 8n3 6n2 4n2 10n 1 2 mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để 3 học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau Thay đổi bài toán : 1) Cho L lim 3 8n3 6n2 an2 bn 1 2. Khi đó S a 2b có giá trị bằng 3 bao nhiêu? A. S 16 . B. S 16 . C. S 20 . D. S 10 . Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải 3 Vì L3 có kết quả là một số hữu hạn nên 8 a 0 2 a 0 a 4 Khi đó: 3 3 2 2 3 3 2 2 L3 lim 8n 6n 4n bn 1 lim 8n 6n 2n 2n 4n bn 1 Ta có: 6n2 lim 3 8n3 6n2 2n lim 2 3 8n3 6n2 2n.3 8n3 6n2 4n2 6 1 lim 2 6 6 2 3 2 2.3 2 4 n n 1 b bn 1 b lim 2n 4n2 bn 1 lim lim n 2 b 1 4 2n 4n bn 1 2 4 n n2 1 b Do đó: L 3 2 4 1 b Mà L 2 nên 2 b 10 3 2 4 Vậy a 2b 4 2. 10 16. Bằng cách tương tự thay đổi bài toán như sau :
7. 7 1) Cho L lim 3 an3 bn2 4n2 10n 1 2. Khi đó S 2a b có giá trị bằng 3 bao nhiêu? A. S 2 . B. S 8. C. S 2 . D. S 10 . 2) Cho L lim 3 8n3 bn2 an2 10n 1 2. Khi đó S 3a 2b có giá trị bằng 3 bao nhiêu? A. S 6 . B. S 16 . C. S 0 . D. S 10 . Ví dụ 4: : Đưa ra bài toán: Tìm giới hạn L lim n2 2n n2 4n 4n2 3n . 4 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả 9 L lim n2 2n n2 4n 4n2 3n mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên 4 4 để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau 9 Thay đổi bài toán: Cho giới hạn L lim n2 2n n2 4n an2 bn với 6 4 a,b ¡ . Tính S a 2 b 2 A. 10 . B. 20 . C. 13 . D. 25 . Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải Ta có L lim n2 2n n2 4n an2 bn 6 2 4 b lim n 1 1 a n n n 2 4 b L lim 1 1 a 0 a 4 Vì 6 đạt giới hạn hữu hạn do đó n n n Khi đó: L lim n2 2n n2 4n 4n2 bn 6 lim n2 2n n n2 4n n 2n 4n2 bn
8. 8 2n 4n bn lim n2 2n n n2 4n n 2n 4n2 bn 2 4 b lim 2 4 b 1 1 1 1 2 4 n n n b 3 4 b 9 Suy ra: 3 b 3. Do đó S 42 32 25 . 4 4 Bằng cách tương tự thay đổi bài toán như sau : 9 1) Cho giới hạn L lim n2 2n an2 bn 4n2 3n với a,b ¡ . 6 4 Tính S a 2 b 2 A. 25 . B. 5 . C. 26 . D. 17 . 9 2) Cho giới hạn L lim an2 bn n2 4n 4n2 3n với a,b ¡ . 6 4 Tính S a 2 b 2 A. 10 . B. 5 . C. 25 . D. 17 . 9 3) Cho giới hạn L lim an2 2n n2 bn 4n2 3n với a,b ¡ . 6 4 Tính S 3a 4b A. 10 . B. 19 . C. 25 . D. 17 . Ví dụ 5: Đưa ra bài toán tìm giới hạn L lim n2 3n 3 n3 4n2 3 8n3 6n2 1 5 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả là 10 L lim n2 3n 3 n3 4n2 3 8n3 6n2 1 mà có khi không hiểu bản chất vấn 5 3 đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau Thay đổi bài toán như sau: Cho giới hạn 10 L lim n2 3n 3 n3 4n2 3 an3 bn2 1 . Tính S a b 5 3
9. 9 A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 2 . Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải L lim n2 3n 3 n3 4n2 3 an3 bn2 1 5 3 4 b 1 lim n 1 3 1 3 a 3 n n n n TH1: a 8 3 4 b 1 Có lim n ; lim 1 3 1 3 a 2 3 a 0 (do a 8) 3 n n n n 3 4 b 1 10 Suy ra L lim n 1 3 1 3 a (loại). 5 3 n n n n 3 TH2: a 8 3 4 b 1 Có lim n ; lim 1 3 1 3 a 2 3 a 0 (do a 8 ) 3 n n n n 3 4 b 1 10 Suy ra L lim n 1 3 1 3 a (loại). 5 3 n n n n 3 TH3: a 8 L lim n2 3n 3 n3 4n2 3 8n3 bn2 1 5 lim n2 3n n 3 n3 4n2 n 2n 3 8n3 bn2 1 3n 4n2 bn2 1 lim 2 2 2 n 3n n 3 n3 4n2 n 3 n3 4n2 n2 4n2 2n 3 8n3 bn2 1 3 8n3 bn2 1 1 b 3 4 2 lim n 2 2 3 4 4 b 1 b 1 1 1 3 1 3 1 1 4 2 3 8 3 8 n 2 2 n n n n n n 3 4 b 34 b . 2 3 12 12
10. 10 10 34 b 10 Mà L b 6 . 5 3 12 3 Bằng cách tương tự thay đổi bài toán như sau : 10 1) Cho giới hạn L lim n2 3n 3 an3 bn2 3 8n3 6n2 1 . 5 3 Tính S a b A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 2 . 10 2) Cho giới hạn L lim n2 3n 3 an3 bn2 3 8n3 6n2 1 . 5 3 Tính S a b A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 2 . 10 3) Cho giới hạn L lim n2 3n 3 an3 bn2 3 8n3 6n2 1 . 5 3 Tính S a b A. 4 . B. 2 . C. 5 . D. 2 . n 3 Ví dụ 6: Đưa ra bài toán tìm giới hạn L lim 4 n . 6 n3 1 4 n 3 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả là L lim 4 n 2 mà 6 n3 1 4 có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau n 3 Thay đổi bài toán như sau Cho L6 lim 4 n 3 2. Khi đó a ? an 1 1 1 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a 4 2 4 2 Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán
11. 11 Trình bày lời giải bài toán Lời giải 3 3 n 1 1 n 3 n 4 n L lim 4 n lim 4 n lim n 3 1 1 an 1 3 n a n a 3 3 n n 3 1 4 1 lim 1 n 1 n a a 3 n 1 1 Mà L 2 2 a . a 4 Với bài toán về giới hạn của hàm số x2 2x 6 (2 1)x 2 Ví dụ 1: Đưa ra bài toán tìm giới hạn L lim . Học sinh sẽ x 1 x2 2x 1 3 dùng máy tính bấm Ra kết quả mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để học 4 sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau x2 2x 6 (2 a)x 1 b 3 Thay đổi bài toán: Biết L lim . Tính S 7a3 b3 ? x 1 x2 2x 1 4 A. 24. B. 20 . C. 25. D. 10 Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải x2 2x 6 (2 a)x 1 b 3 2x 6 ax b (x2 2x 1) 3 L lim lim x 1 x2 2x 1 4 x 1 x2 2x 1 4 2x 6 ax b 3 2x 6 ax b 1 lim 1 lim x 1 x2 2x 1 4 x 1 x2 2x 1 4 2x 6 ax b 1 +) Xét giới hạn I lim . x 1 x2 2x 1 4
12. 12 +) Vì hữu hạn nên biểu thức ở tử phải bằng 0 khi dần về ―1, hay = ―1 là nghiệm 2x 6 ax b 0 a b 2 0 b a 2. +) Thay vào biểu thức , ta được 2x 6 ax a 2 1 2x 6 (ax a 2)2 1 L lim lim . x 1 x2 2x 1 4 x 1 (x 1)2 2x 6 ax a 2 4 2x 6 (ax a 2)2 +) Ta có lim 2x 6 ax a 2 4 . Suy ra lim 1. x 1 x 1 (x 1)2 +) Ta có 2 2 2 2x 6 (ax a 2) 2x 6 (ax a) 2 2x 6 (ax a) 2(ax a) 4 nên 2x 6 (ax a)2 2(ax a) 4 (ax a)2 2(ax a) 4 (2x 2) L lim lim x 1 (x 1)2 x 1 (x 1)2 a2 (x 1) 2a 2 lim . x 1 x 1 a2 (x 1) 2a 2 +) Để giới hạn lim tồn tại thì = 1. Suy ra b a 2 3 . Vậy x 1 x 1 S 7a3 b3 7 27 20 . 5x 3 4 5x 1 Ví dụ 2: Đưa ra bài toán tìm giới hạn L lim . x 1 2 x 2x 1 25 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm ra kết quả mà có khi không hiểu bản 16 chất vấn đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau ax b 4 5x 1 25 Thay đổi bài toán: Biết L lim . Khi đó giá trị S 2a 2 b x 1 2 x 2x 1 16 bằng A. S 50 . B. S 53. C. S 52 . D. S 55. Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán
13. 13 Lời giải Cách 1 ax b 4 5x 1 25 0 Vì lim . Nên giới hạn phải có dạng , suy ra x 1 2 x 2x 1 16 0 ax b 4 5x 1 0có nghiệm x 1. Vậy phải có a b 8 0 b 8 a Ta có ax b 4 5x 1 25 ax 8 a 4 5x 1 25 lim lim x 1 2 x 1 2 x 2x 1 16 x 1 16 a x 1 4 2 5x 1 25 lim . x 1 x 1 2 16 5 5x a x 1 4 25 lim 2 5x 1 ( Vì b 8 a ) x 1 x 1 2 16 20 a 25 lim 2 5x 1 x 1 x 1 16 20 lim a 0 . x 1 2 5x 1 20 a 0 a 5, b 3 . 4 +) Thử lại 2 5x 3 4 5x 1 5x 3 16 5x 1 Ta có lim lim . x 1 2 x 1 2 x 2x 1 x 1 5x 3 4 5x 1 2 25x2 50x 25 25 x 1 lim lim x 1 x 1 2 5x 3 4 5x 1 x 1 x 1 2 5x 3 4 5x 1 25 25 lim x 1 5x 3 4 5x 1 16 Vậy S 2a 2 b 53 Cách 2
14. 14 ax b 4 5x 1 25 0 Vì lim . Nên giới hạn phải có dạng , suy ra x 1 2 x 2x 1 16 0 ax b 4 5x 1 0có nghiệm x 1. Vậy phải có a b 8 0 b 8 a Ta có 2 ax b 4 5x 1 25 ax b 16 5x 1 25 lim lim x 1 2 x 1 2 x 2x 1 16 x 1 ax b 4 5x 1 16 a2 x2 2ab 80 x b2 16 25 lim . x 1 x 1 2 ax b 4 5x 1 16 2 2 2 2 a x 2a 16a 80 x 8 a 16 25 lim ( Vì b 8 a ) x 1 x 1 2 ax 8 a 4 5x 1 16 2 2 x 1 a x a 16a 80 25 lim x 1 x 1 2 ax 8 a 4 5x 1 16 2 2 a x a 16a 80 25 0 lim . Ta có giới hạn vẫn phải có dạng nên x 1 x 1 ax 8 a 4 5x 1 16 0 phương trình a 2 x a 2 16a 80 0 phải có nghiệm x 1. Suy ra 16a 80 0 a 5, b 3 Vậy S 2a 2 b 53 +) Thử lại 2 5x 3 4 5x 1 5x 3 16 5x 1 Ta có lim lim . x 1 2 x 1 2 x 2x 1 x 1 5x 3 4 5x 1 2 25x2 50x 25 25 x 1 lim lim x 1 x 1 2 5x 3 4 5x 1 x 1 x 1 2 5x 3 4 5x 1 25 25 lim x 1 5x 3 4 5x 1 16 Vậy S 2a 2 b 53. Ví dụ 3 : Đưa ra bài toán cho hàm số f x x2 2x 3 3 f 2 x 2 f x 36 Yêu cầu tìm giới hạn lim . x 2 x2 3x 2 x 2 f x 2 x2 4
15. 15 Học sinh sẽ dùng máy tính bấm mà có khi không hiểu bản chất vấn đề nên để học sinh làm được dạng toán giới hạn mức vận dụng mà hạn chế học sinh sử dụng máy tính cầm tay thì đưa thêm hệ số vào yêu cầu học sinh phải hiểu bản chất toán và vận dụng được kiến thức vào bài như sau 2 f x 6 Thay đổi bài toán: Cho lim 7 x 2 x 2 3 f 2 x 2 f x 36 a a Khi đó lim . ( tối giản; a,b ¥ ).S a b ? x 2 x2 3x 2 x 2 f x 2 x2 4 b b Học sinh phân tích và tìm ra hướng giải bài toán Trình bày lời giải bài toán Lời giải Ta có: 2 f x 6 lim 7 2 f x 6 x 2 7 x 2 x 2 x 2 7 x 2 7x hay f x 3 x 2 ; f x x 2 4 2 2 Khi đó: 3 f 2 x 2 f x 36 3 f x 4 f x 3 lim lim x 2 x2 3x 2 x 2 f x 2 x2 4 x 2 x 1 x 2 x 2 f x 1 x2 4 7 x 2 7 x 2 7 x 2 7 3 1 3 1 2 2 2 2 21 lim lim x 2 x 2 8 7x 2 7x 2 x 1 x 2 x 2 5 x 4 x 1 x 2 5 x 4 2 2 Vậy S = a- b = 21- 8 = 13 Các bước tiến hành thực hiện giải pháp - Đưa ra bài toán tìm giới hạn cụ thể - Tìm kết quả của bài toán - Dựa trên các bài toán tìm giới hạn của hàm số cụ thể yêu cầu học sinh thay đổi đầu bài và chuyển sng bài toán có tham số và thực hiện việc giải bài toán đó - Kết quả khi thực hiện giải pháp: Học sinh hiểu rõ từng dạng bài và phương pháp giải cụ thể của từng dạng bài và có cái nhìn cũng như cách làm bài trắc
16. 16 nghiệm với các câu vận dụng- vận dụng cao nhanh chính xác. Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp Dựa trên các bài toán tìm giới hạn cụ thể của các bài tìm giới hạn dãy số và tìm giới hạn hàm số học sinh có thể tạo ra các bài toàn có tham số và học sinh có kỹ năng tốt làm nhanh các dạng toán đó bằng phương pháp trắc nghiệm dựa trên bài toán tự luận . - Bằng cách làm như vậy dựa trên một bài toán giới hạn cụ thể các thầy cô hướng dẫn học sinh tự ra được một lớp các bài tập tương tự hạn chế được việc lạm dụng máy tính cầm tay khi làm bài tập về giới hạn hàm số và giới hạn dãy số ở mức độ vận dụng. - Các bảng số liệu, biểu đồ so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện giải pháp . Tất cả những học sinh các lớp sau khi được học xong chuyên đề đều hiểu rõ bản chất của dạng toán cách khử và với học sinh khá giỏi thì sẽ xây dựng được một hệ thống bài tập trắc nghiệm hay đáp ứng tốt cách đánh giá học sinh bằng cả hình thức tự luận và hình thức trắc nghiệm ( Số liệu minh họa phiếu khảo sát học sinh sau khi được học chuyên đề có trong phụ lục) BÀI TẬP KIỂM TRA SAU KHI HỌC XONG CHUYÊN ĐỀ Thời gian 60 phút ĐỀ BÀI 3 f x 9 5 f 2 x 20 f x 15 a Câu 1: Cho lim 4 Khi đó lim . x 4 x 4 x 4 x2 5x 4 f x 1 x2 16 b a ( tối giản; a,b ¥ ).S a 2b? b A. 4 . B. 8 . C. 2 . D. 6 . L lim 4n2 3n an2 bn 1 S a b Câu 2: Biết 1 . Tính A. S 4 . B. S 7 . C. S 3. D. S 7 . Câu 3: Cho lim 3 n3 6n2 3 n3 bn2 3 an3 12n2 2 . Tính S 2a 3b A. 8 . B. 7 . C. 9 . D. 3 .
17. 17 Câu 4: Cho a,b là các tham số thực thỏa mãn lim 3 n3 bn2 an2 6n 1 6. Tính tích P a.b? A. 6. B. 0. C. 9. D. 3. f x 4 f 2 x 16 Câu 5: Cho lim 10 . Tính I lim . x 1 x 1 x 1 3 x 1 7 f x 8 4 A. 1. B. 24 . C. 10. D. 8 . 1 4x 3 1 6x m m Câu 6: Cho lim trong đó m , n là các số nguyên và là phân x 0 x2 n n số tối giản. Tính S m2 mn n2 A. 7 . B. 5 . C. 4. D. 3 . Câu 7: Cho hàm đa thức bậc hai y f x có đồ thị như hình vẽ. f x a 1 Biết rằng lim 2 khẳng định nào sau đây đúng? x 1 x 1 A. a ; 3 . B. a 3;0 .C. a 0;3 . D. a 3; . x2 ax b 1 Câu 8: Cho lim . Tính S a b ? x 2 x3 8 2 A. 5 . B. 6 . C. 10. D. 8 . Câu 9: Biết lim an2 4n 4n2 bn 3 n3 8n2 4 . Biểu thức T a b có giá trị bằng A. 11. B. 17 . C. 1. D. 1.
18. 18 L lim 3 n3 3n2 an b 2020 b a Câu 10: Cho 3 . Khi đó bằng A. 2019 . B. 2022 . C. 2021. D. 2020 . f x 16 Câu 11: Cho f x và g x là một đa thức thỏa mãn lim 24 , x 1 x 1 g x 10 lim 5 . x 1 x 1 3 35 f x .g x 5 a a Biết lim với a,b ¢ và tối giản. Tính P a 2b x 1 x 1 b b . A. 10. B. 14. C. 10 . D. 14 . x a 2x b 3 5 Câu 12: Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn lim . Tính giá trị x 1 x 1 4 của S a b . A. S 2 . B. S 4 . C. S 6 . D. S 5. 19 1 Câu 13: Cho lim 9n2 4n 4n2 3n an b . Khi đó a2 bằng 12 b 7 19 A. . B. . C. 31. D. 6 . 12 12 an 1 Câu 14: Cho lim 2n 1 3 4 . Khi đó a ? n 2n 1 1 A. a 2 . B. a . C. a . D. a 4 . 4 2 ax + b- 2 x 1 Câu 15: Biết rằng lim = . Giá trị của biểu thức S = a + b bằng x® 1 x3 - 3x + 2 12 A. S = 1. B. S = 0 . C. S = 3. D. S = 2 . Câu 16: Biết L lim n2 6n 1 an b 2020 2021. Khi đó a b bằng: 2 A. 1. B. 3 . C. 1. D. 3 . L lim 3 n3 2n2 2 3 an3 bn2 1 P a.b Câu 17: Cho 4 . Tính . A. P 0 . B. P 2 . C. P 1. D. P 1. x2 5 9 2x2 4x 3x2 Câu 18: Tính giới hạn L lim x 2 2 x
19. 19 34 34 A. L . B. L 0 . C. L . D. L . 3 3 3 x2 4 x3 3x2 6 Câu 19: Tính lim . x 2 x2 x 2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 3 6 n2 1 3 Câu 20: Cho lim an b . Khi đó S a b bằng: 2n 2 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 1. 3x 2 ax b 9 Câu 21: Biết lim . Tính giá trị biểu thức P 2a 4b . x 1 x 1 2 8 A. P 1. B. P 1. C. P 5. D. P 5. ax b 4x 1 Câu 22: Biết a,b là các số thực thỏa mãn lim 2 . Giá trị của biểu x 0 x2 thức 2a 3b bằng A. 5 . B. 15. C. 5 . D. 7 . 3 3x2 3x 1 ax b Câu 23: Biết rằng L lim a,b ¡ và L là một số thực. Tính x 1 x2 2x 1 T a b . A. T 1 . B. T 1. C. T 3 . D. T 3. x x2 x3 ... x2020 2020 Câu 24: Tính lim . x 1 x 1 A. 2041210. B. 1020605. C. 2020 D. 4082420 ax b 4 5x 1 25 2 Câu 25: Biết lim . Khi đó giá trị S 2a b bằng x 1 2 x 2x 1 16 A. S 50 . B. S 53. C. S 52 . D. S 55. ----------- HẾT ---------- Kết quả đạt được :Với mức độ đề nhiều câu vận dụng và vận dụng cao nhưng học sinh vẫn đạt kết quả tốt
20. 20 KẾT QUẢ HỌC SINH LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SAU KHI HỌC XONG CHUYÊN ĐỀ SốTT Họ và tên LỚP KẾT QUẢ 1 Ngô Thị Phương Châm 11A1 9.6 2 Hà Văn Cường 11A1 9.6 3 Hoàng Đức Dương 11A1 9.6 4 Nguyễn Bá Đạt 11A1 10 5 Đào Duy Đăng 11A1 9.6 6 Chu Tiến Điền 11A1 9.2 7 Đỗ Hoàng Gia 11A1 10 8 Lê Trường Giang 11A1 9.6 9 Nguyễn Thu Hà 11A1 9.6 10 Lê Đức Hải 11A1 9.2 11 Trần Hoàng Hải 11A1 9.2 12 Trần Mai Hiền 11A1 9.2 13 Vũ Văn Hiệp 11A1 9.6 14 Nguyễn Văn Hiếu 11A1 8.8 15 Trịnh Trung Hiếu 11A1 8.4 16 Nguyễn Ngọc Hoàng 11A1 10 17 Vũ Lê Huy Hoàng 11A1 9.2 18 Hoàng Gia Khánh 11A1 9.6 19 Lăng Viết Khiêm 11A1 10 20 Nguyễn Đăng Khoa 11A1 9.2 21 Ngô Yến Linh 11A1 9.2 22 Trần Mai Linh 11A1 9.2 23 Ngô Ngọc Lý 11A1 8.2