Tài liệu ôn tập tốt nghiệp THPT Toán - Chuyên đề 5: Khối đa diện. Góc. Khoảng cách

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập tốt nghiệp THPT Toán - Chuyên đề 5: Khối đa diện. Góc. Khoảng cách

1. CHUYÊN ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN + GÓC + KHOẢNG CÁCH I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số kiến thức trong hình học phẳng thường sử dụng a) Diện tích tam giác, tứ giác ① Diện tích tam giác vuông: ❖ Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông. ② Diện tích và đường cao tam giác đều: ③ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật: ❖ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. ❖ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . ❖ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. ④ Diện tích hình thang: 1 ❖S Hình Thang .(đáy lớn + đáy bé) x chiều 2 cao ⑤Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: ❖ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo. ❖ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. b) Một số kiến thức khác: 1 1 abc S BC.AH AB.AC.sin A pr p( p a)( p b)( p c) ABC 2 2 4R AB2 AC 2 BC 2 Độ dài trung tuyến: AM 2 2 4 Định lí hàm số cosin: BC2 AB2 AC2 2AB.AC.cos A a b c Định lí hàm số sin: 2R sin A sin B sin C 2. Góc và khoảng cách trong không gian 2.1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: a //a, b //b a¶,b a· ',b' Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u,v) . neáu 00 1800 Khi đó: a¶,b 0 0 0 180 neáu 90 180 Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 Chú ý: 00 a¶,b 900 b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900. 1
2. Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 00 d·,(P) 900. c) Góc giữa hai mặt phẳng a  (P) · ¶ (P),(Q) a,b b  (Q) a  (P),a  c · ¶ Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b b  (Q),b  c Chú ý: 00 (·P),(Q) 900 2.2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng d M , MH M Với H là hình chiếu vuông góc của M trên D (OH OM,M ) H b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' : M K - D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau: d(D,D ') = 0. - D // D ' : d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D) ' H N c) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng M d M , MH H d Với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  d) Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng d , d M , , M M Với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0. H e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng M d ,  d M ,  d N, Với M , N ( ) H  f) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau M d , ' MN Với MN là độ dài đoạn vuông góc chung của D và D ' ' N 2
3. 3. Thể tích khối đa diện Khối đa diện Nội dung Hình vẽ S 1 V S .h 3 đáy S : Diện tích mặt đáy. h Khối chóp đáy h : Độ dài chiều cao khối chóp. A D 1 V d .S O S.ABCD 3 S, ABCD ABCD C B A C A C V S .h đáy S : Diện tích mặt đáy. B B Khối lăng trụ đáy h : Chiều cao của khối chóp. A' C' A' C' Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. B' B' A D d Khối hộp chữ B C nhật V a.b.c A' D' c a b B' C' A D B C Khối lập phương V a3 A' D' B' C' V SA SB SC S.A B C . . VS.ABC SA SB SC Thể tích hình chóp cụt ABC.A B C Tỉ số thể tích h V B B BB 3 Với B,B ,h là diện tích hai đáy và chiều cao. * Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là : a2 b2 c2 II. BÀI TẬP A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 3
4. 1 1 1 A. V Bh . B. V Bh . C. V Bh . D. V Bh . 3 6 2 Câu 2: Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 1 3 A. V Bh . B. V Bh . C. V Bh . D. V Bh . 3 6 4 Câu 3: Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì có thể tích là: 1 4 1 A. V S.h . B. V S.h . C. V S.h . D. V S.h . 3 3 2 Câu 4: Tính độ dài cạnh bên  của khối lăng trụ đứng có thể tích V và diện tích đáy bằng S : V V V 3V A.  . B.  . C.  . D.  . S 2S S S Câu 5: Một khối hộp chữ nhật có độ dài ba mặt lần lượt là 6,7,8. Thể tích của khối hộp chữ nhật đó là: A. 90 . B. 104. C. 112. D. 336. Câu 6: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có thể tích V . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. V AB.BC.AA . B. V AB.BC.AA . C. V AB.AC.AA . D. V AB.AC.AD . 3 Câu 7: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , AD b , AA c. Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D bằng bao nhiêu? 1 1 A. abc. B. abc . C. abc . D. 3abc . 2 3 Câu 8: Thể tích hình lập phương cạnh 3 là A. 3 . B. 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Câu 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có cạnh bên AA h và diện tích tam giác ABC bằng S . Thể tích của khối hộp ABCD.A B C D bằng 1 2 A. V Sh . B. V Sh . C. V Sh . D. V 2Sh . 3 3 Câu 10: Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5 . A. V 60 . B. V 180. C. V 50. D. V 150. Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB a, AC 2a cạnh SA vuông góc với ABC và SA a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 3 a3 3 a3 3 A. B. a3 3 C. D. . 4 6 3 Câu 12: Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 9 3 27 3 27 3 9 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 13: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 3 2 và thể tích bằng 50 . Chiều cao của khối chóp là: 5 10 A. 10. B. . C. . D. 5 . 3 3 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, biết diện tích đáy bằng m . Thể tích V của khối chóp S.ABCD là: 1 1 1 1 A. V m.SA . B. V m.SB . C. V m.SC . D. V m.SD . 3 3 3 3 Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , BC 2a , SA 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a . 8a3 4a3 6a3 A. . B. . C. . D. 4a3 . 3 3 3 Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . Biết SA 6a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 4
5. A. 12 3a3 . B. 24a3 . C. 8a3 . D. 6 3a3 . Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 A. V a3 (đvtt). B. V (đvtt). C. V 3a3 (đvtt). D. V a2 (đvtt). S.ABC S.ABC 2 S.ABC S.ABC Câu 18: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau tại O và OA 2 , OB 4 , OC 6 . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng. A. 48 . B. 24 . C. 16. D. 8 . Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  ABC và SA a 3. Thể tích khối chóp S.ABC là 3a3 a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 2 8 4 Câu 20: Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có tất cả các cạnh bằng a là a3 3 a3 3 A. 3a3 . B. . C. a3 . D. . 2 4 Câu 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA BC a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V a3 . B. V . C. V . D. V . 3 6 2 Câu 22: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2a2 . Tính thể tích khối lăng trụ. 2a3 4a2 4a3 A. V 4a3 . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Câu 23: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2a , AA a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . 3a3 a3 A. . B. . C. 3a3 . D. a3 . 4 4 Câu 24: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng a2 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 A. V a3 . B. V 3a3 . C. V a3 . D. V 9a3 . 2 Câu 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V a3 . 2 6 3 MỨC ĐỘ 2 Câu 26: Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên 2 lần và giảm chiều cao đi 4 lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ: A. Không thay đổi. B. Tăng lên hai lần. C. Giảm đi ba lần. D. Giảm đi hai lần. Câu 27: Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA  ABCD và SC a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . 3a3 a3 a3 2 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 3 3 Câu 28: Thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 3 . 4 2 9 2 A. 2 . B. 2 2 . C. . D. . 9 4 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 5
6. 3a3 3 4a3 3 8a3 3 3a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 3 3 4 Câu 30: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy và SA BC a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 3 3 3 3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V a3 . 6 2 4 4 3a Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD , hình chiếu vuông góc 2 của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AB . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . a3 a3 a3 2a3 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Câu 32: Cho khối chóp S.ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C sao cho 1 1 1 SA SA , SB SB , SC SC . Gọi V và V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC 3 3 3 V và S.A B C . Khi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 27 9 Câu 33: Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích là V , thể tích của khối chóp C .ABC là: 1 1 1 A. 2V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 Câu 34: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , ·ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3 a3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 18 2 3 9 6 Câu 35: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2a3 11a3 14a3 14a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 2 6 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB a, AD 3a, BC a, SA a 3 . Tính thể tích khối chóp S.BCD 3a3 2 3a3 3a3 A. 2 3a3. B. . C. . D. . 6 3 4 Câu 37: Gọi n là số cạnh của hình chóp có 101 đỉnh. Tìm n . A. n 202 . B. n 200 . C. n 101. D. n 203 Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD ; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . a3 6 a3 6 A. 3a3 . B. . C. . D. 3 2a3 . 9 3 V Câu 39: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. 4 . B.  C. 2 . D.  2 4 Câu 40: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , SA a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 6
7. 35a3 3a3 2a3 2a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 24 6 6 2 Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác SAB vuông cân tại S . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 24 3 4 Câu 42: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 3 3a3 a3 3 3a3 A. . B. . C. . D. . 6 4 12 6 Câu 43: Cho hình chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 8 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Tính thể tích khối chóp S.MNP . A. 3 . B. 6 . C. 2 . D. 4 . Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 . Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng a3 17 a3 17 a3 17 a3 17 A. . B. . C. . D. . 3 3 9 6 1 Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC AD a . 2 Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD . a3 a3 a3 2 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . S.ACD 2 S.ACD 3 S.ACD 6 S.ACD 6 Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC a . Biết SA vuông góc với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 6 a3 3 a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 24 24 8 48 Câu 47: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên SAB , SAC cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC a 3. 2a3 6 a3 6 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 12 4 2 Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: A. a 3 . B. a . C. a 2 . D. 2a . Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 30 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 9 9 Câu 50: Một khối chóp tam giác có đáy là một tam giác đều cạnh 6cm. Một cạnh bên có độ dài bằng 3cm và tạo với đáy một góc 60 . Thể tích của khối chóp đó là: 27 81 9 3 A. 27cm3 . B. cm3 . C. cm3 D. . cm3 2 2 2 Câu 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc B· CA 30 , 3a SO  ABCD và SO . Khi đó thể tích của khối chóp là 4 a3 2 a3 3 a3 2 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 8 4 7
8. Câu 52: Cho tứ diện SABC có các cạnh SA , SB , SC vuông góc đôi một và AB 5 cm , BC 41 cm , AC 34 cm . Tìm thể tích V của khối tứ diện SABC. A. 10 cm2. B. 11 cm2. C. 12 cm2. D. 14 cm2. Câu 53: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy? a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . a3 3 C. . D. . 2 3 6 Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC , tam giác ABC là tam giác vuông tại B , AB a ; BC a 3 , mặt bên SBC tạo với đáy góc 60 . Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 a3 2a3 a3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 4 Câu 55: Tính thể tích của khối lập phương có diện tích một mặt chéo bằng a2 2 . A. .2 a3 2 B. . a3 C. . a3 2D. . 4a3 2 Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAB cân tại S 4a3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 . Khi đó độ dài SC bằng A. . 6a B. . 3a C. . 2a D. . 6a Câu 57: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là 2a . M thuộc cạnh SA sao cho 2MS MA . Tính thể tích V của tứ diện MABC. 11 11 11 11 A. V a3. B. V a3. C. V a3. D. V a3. 12 14 16 18 Câu 58: Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C . 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4 Câu 59: Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình dưới. Tính diện tích toàn phần Stp của khối chữ thập đó. 2 2 2 2 A. .S tp 20a B. . SC.tp . 12a D. . Stp 30a Stp 22a Câu 60: Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương ứng sẽ: A. Tăng 2 lần. B. Tăng 8 lần. C. Tăng 4 lần. D. Tăng 6 lần. Câu 61: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là một tam giác vuông cân tại A , AC AB 2a , góc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 30 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là 4a 3 4a3 3 2a3 3 4a2 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 62: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 8
9. a3 a3 a3 A. .V B. . V C. . D.V . V a3 2 6 3 Câu 63: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ; BC 2a ; ·ABC 30 . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a 3 . Thể tích khối lăng trụ là: a3 A. . B. . 6a3 C. . 3a3 D. . 2a3 3 3 Câu 64: Tính thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AC 5a đáy là tam giác đều cạnh 4a. A. V 12a3. B. V 20a3. C. V 20a3 3. D. V 12a3 3. 3a Câu 65: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA . Biết rằng hình 2 chiếu vuông góc của A lên ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. 2a3 3a3 3 A. .V a3 B. . V C. . D. .V V a3 3 4 2 2 Câu 66: Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30. Khi đó thể tích khối lăng trụ là? 9 27 3 27 9 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Câu 67: Cho hình hộp ABCD.A B C D thể tích là V. Tính thể tích của tứ diện ACB D theo V. V V V V A. . B. . C. . D. . 6 4 5 3 Câu 68: Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó. 5 26 A. .V 6 B. . V 5C.2 .6 D.V . 2 V 3 Câu 69: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi, biết AA 4a , AC 2a , BD a . Thể tích của khối lăng trụ là 8a3 A. 2a3 . B. 8a3 . C. . D. 4a3 . 3 Câu 70: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tam giác ABC vuông tại A , AB AA a , AC 2a . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. a3 2a3 A. . B. . C. a3 . D. 2a3 . 3 3 Câu 71: Lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết AC a 2 , AA 2a . Khi đó thể tích của lăng trụ đó bằng. a3 4a3 A. a3 B. C. 4a3 D. 3 3 Câu 72: Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , góc B· AD bằng 60 và cạnh bên AA bằng a . 9 1 3 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. 3a3 . 2 2 2 Câu 73: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng AB C tạo với mặt đáy góc 60 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . 3a3 3 a3 3 3a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 2 4 8 9
10. Câu 74: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A cách đều A , B , C 2a 3 biết AA . Thể tích lăng trụ là 3 a3 10 a3 6 a3 5 a3 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Câu 75: Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a , đường thẳng BC tạo với mặt phẳng ACC A một góc 30 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C . 6 a3 3 3 A. .V a3 B. . V C. . D. . V a3 V a3 4 8 4 8 MỨC ĐỘ 3 Câu 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD . Biết khối chóp S.ABCD có thể tích là 16a3 . Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a . A. .2 a3 B. . a3 C. . 8a3 D. . 4a3 Câu 77: Cho khối chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB AC 2a , S· BA S· CA 90 , góc giữa cạnh bên SA với mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 4a3 6 2a3 6 a3 V V V V A. . 6 B. . C. . 3 D. . 3 4 Câu 78: Cho khối chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB BC 5a , 9 S· AB S· CB 900 , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBA) bằng với cos . Tính thể tích 16 V của khối chóp S.ABC . 50a3 125 7a3 125 7a3 50a3 V V V V A. 3 . B. 9 . C. 18 . D. 9 . Câu 79: Cho khối chóp S.ABC , có BC 2BA 4a , ·ABC B· AS 900 , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) 0 và (SBA) bằng 60 và SC SB . Thể tích V của khối chóp S.ABC bằng: 32a3 8a3 16a3 16a3 V V V V A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. 9 . Câu 80: Cho một tứ diện có đúng một cạnh có độ dài bằng x thay đổi được, các cạnh còn lại có độ dài bằng 2 . Tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện này. 1 2 2 3 3 A. . B. . C. . D. 1. 2 3 3 Câu 81: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B , AB a, SA 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích khối tứ diện S.AHK . 4a3 8a3 8a3 4a3 A. V . B. V . C. V . D. V S.AHK 15 S.AHK 45 S.AHK 15 S.AHK 5 Câu 82: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , BA BC 1, AD 2 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của V a3 trên SB . Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD . 2 2 4 2 4 2 2 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 9 3 9 Câu 83: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB 3a, AC 4a, AD 5a . Gọi M , N, P lần lượt là trọng tâm của tam giác DAB , DBC , DCA . Tính thể tích V của tứ diện DMNP 10a3 80a3 20a3 40a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 27 27 27 27 10
11. Câu 84: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V. 7 2a3 11 2a3 13 2a3 2a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 216 216 216 18 Câu 85: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45, M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V 6 4 12 2 a 17 Câu 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha , SD , hình chiếu vuông góc H của S 2 lên mặt ABCD là trung điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H.SBD theo a . 3a a 3 a 21 3a A. . B. . C. . D. . 5 7 5 5 Câu 87: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, BC a 3, góc hợp bởi đường thẳng AA và mặt phẳng A B C bằng 45, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C . 3 3 a3 A. a3. B. a3. C. a3. D. . 9 3 3 Câu 88: Lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 4 và diện tích tam giác A BC bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ đó. A. .8 3 B. . 6 3 C. . 4 3 D. . 2 3 Câu 89: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có cạnh BC 2a , góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BC bằng 60 . Biết diện tích của tam giác A BC bằng 2a2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C . 2a3 a3 3 A. .V 3a3 B. . V C. . D. . V a3 3 V 3 3 Câu 90: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên BCC B là hình vuông, khoảng cách giữa AB và CC bằng a . Tính thể tích khối trụ ABC.A B C . 2a3 2a3 A. .a 3 B. . C. . D. . 2a3 2 3 Câu 91: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BB , CC . Mặt phẳng A MN chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt V1 là thể tích của phần đa diện chứa điểm B , V1 V2 là phần còn lại. Tính tỉ số . V2 V 7 V V V 5 A. . 1 B. . 1 2 C. . D.1 . 3 1 V2 2 V2 V2 V2 2 Câu 92: Nếu một khối hộp chữ nhật có độ dài các đường chéo của các mặt lần lượt là 5 , 10 , 13 thì thể tích khối hộp đó bằng: A. .8 B. . 4 C. . 6 D. 5 Câu 93: Cho một khối lập phương biết rằng khi tăng độ dài cạnh của khối lập phương thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 152cm3. Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng: A. 5cm . B. 6cm . C. 3cm . D. 4cm . 11
12. B. MỘT SỐ BÀI TẬP GÓC – KHOẢNG CÁCH Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông cân tại B . Cho độ dài các cạnh SA AB a . Số đo góc giữa SA và SBC là: A. 600 B. 300 C. 450 D. 55035' Câu 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC , có ABC là tam giác đều cạnh a , SA SB SC a 3 . Tính góc giữa SA và ABC . A. 45 B. 60 C. 3526' D. 7031' Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  ABCD . Biết a 6 SA . Tính góc giữa SC và ABCD . 3 A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 75 . Câu 4: Cho hình thoi ABCD có tâm O, BD 4a, AC 2a . Lấy điểm S không thuộc ABCD sao cho 1 SO  ABCD . Biết tan S· BO . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD 2 A. 30o . B. 45o . C. 60o . D. 75o . Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm của BC . Biết SB a . Số đo của góc giữa SA và ABC là A. 75 . . B. 45. C. 60 . D. 30 . Câu 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bằng nhau, góc giữa SD với mặt đáy ABCD bằng: A. 90 . B. 60 C. 45 . D. 30 . Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA  ABCD và SA a 6 . Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD gần bằng? A. 74 . B. 55 . C. 81 . D. 63 . Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với a 6 (ABC) lấy điểm S sao cho SA . Tính số đo giữa đường thẳng SB và ABC 2 A. 300. B. 450. C. 600. D. 750. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng a3 2 đáy, khối chóp S.ABCD có thể tích bằng . Tính góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . 3 A. 90 . B. 60 C. 45 . D. 30 . Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB a 6 , cạnh bên SC 4 3a . Hai mặt phẳng SAD và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD và M là trung điểm của SC . Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ACD ? A. 30 . B. 60 . C. 45. D. 90 . Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở A , BC 2 3a . Tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp bằng a3 , tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC . 3 A. . B. . C. . D. arctan . 6 3 4 2 12
13. Câu 13: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ACD . a 6 a 3 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Câu 14: Cho hình chóp S.ABC , ABC là tam giác vuông tại A , BC 2a , ·ABC 60 . Gọi M là trung a 39 điểm BC . Biết SA SB SM . Tính khoảng cách d từ đỉnh S đến mặt phẳng ABC . 3 A. .d 3a B. . d a C. . dD. .2a d 4a Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB a , AC a 2 , AD a 3 , các tam giác ABC , ACD , ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BCD . a 66 a 6 a 30 a 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 11 3 5 2 Câu 16: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Biết OA a , OB 2a , OC a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC . a 3 a a 17 2a 3 A. . B. . C. . D. . 2 19 19 19 Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D bằng a 3 a 3 2a 3 a A. B. C. D. 3 2 3 3 Câu 18: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a3 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD . 2a a A. 2 3a . B. a 3 . C. . D. . 3 2 Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy, SA AD a, AB 2a . Xác định khoảng cách giữa AB và SC. 2 3a 2a 2a 5 A. . B. 2a 5 . C. . D. . 3 3 5 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SD a 2 , SA SB a , và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. a 5a a 3a A. B. C. D. 4 2 2 2 C. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 1: Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 50 m . Lượng nước trong hồ cao 1,5 m . Thể tích nước trong hồ là A. 1875 m3 . B. 2500 m3 . C. 1250 m3 . D. 3750 m3 . Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 10 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 20 cm ; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 42 cm . Chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4 m . Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa và cứ một bao xi măng 50 kg thì tương đương với 64000 cm3 xi măng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột? A. 22 bao. B. 17 bao. C. 18 bao. D. 25 bao. 13
14. Câu 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x (cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất. A. 2,5cm B. 3cm C. 2cm D. 1,5cm Câu 4: Một cái hộp hình chữ nhật không nắp được làm từ một mảnh bìa cứng. Hộp có đáy là hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và có thể tích 500 cm3 . Gọi S(x) là diện tích mảnh bìa cứng theo x. Tìm x sao cho S(x) nhỏ nhất (tức tốn ít nguyên liệu nhất). A. 10 B. 11 C. 9 D. 12 Câu 5: Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h, có thể tích 1m3 . Với a, h như thế nào để đỡ tốn vật liệu nhất. 1 1 1 1 A. a 2,h 2 B. a 1,h 1 C. a ,h D. a ,h 2 2 3 3 Câu 6: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng r m với d 2r. Chiều cao bể nước là h m và thể tích bể là 2m3. Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? 3 3 2 3 2 2 A. m B. 3 m C. 3 m D. m 2 2 3 2 3 3 Câu 7: Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có 500 thể tích bằng m3 . Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ 3 xây là 100.000 đồng/ m2 . Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là A. 15 triệu đồng. B. 11 triệu đồng. C. 13 triệu đồng. D. 17 triệu đồng. Câu 8: Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m và chiều rộng 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m . Tìm x để không gian phía trong lều lớn nhất. A. x 3 3 . B. x 3 . C. x 4 . D. x 3 2 . Câu 9: Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200 m3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/ m2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể(làm tròn đến đơn vị triệu đồng). A. 75 triệu đồng. B. 51 triệu đồng. C. 36 triệu đồng. D. 46 triệu đồng. Câu 10: Ông Cả dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 2,26m3 . B. 1,61m3 . C. 1,33m3 . D. 1,50m3 . Câu 11: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60cm . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. 14
15. B M Q C M Q B, C A D N P N P x x A, D 60cm Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. x 18 B. x 20 C. x 22 D. x 24 Câu 12: Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152 m2 và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). A. 16 m 24 m . B. 8 m 48 m . C. 12 m 32 m . D. 24 m 32 m . Câu 13: Một đống đất được vun thành hình một khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2m, cạnh đáy nhỏ bằng 1m và chiều cao bằng 2m. Khối lượng (thể tích) đống đất có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 4,55m3. B. 4,65m3. C. 4,7 m3. D. 4,75m3. 15