Chuyên đề Một số bài Toán ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng gắn với thực tế (Liên quan đên parabol dùng công thức tính nhanh)

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Một số bài Toán ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng gắn với thực tế (Liên quan đên parabol dùng công thức tính nhanh)

1. 1 Chuyên đề:một số bài toán ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng gắn với thực tế( liên quan đến parabol dùng công thức tính nhanh). I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.( y= f ( x ), y= g( x ) liên tục trên đoạn a;b) y= f ( x ) b 1. Diện tích S của miền giới hạn D1 : y = 0 là S= f() x dx a x== a;x b y= f ( x ) b 2. Diện tích S của miền giới hạn D2 : y= g( x ) là S=− f()() x g x dx a x== a;x b x= f ( y ) b 3. Diện tích S của miền giới hạn D3 : x= g( y ) là S=− f()() y g y dy a y== a; y b Một số Câu toán ta phải xây dựng các hệ trục để áp dụng công thức ứng dụng. • Đường parabol đứng ứng với hàm số bậc hai y= ax2 + bx + c( a 0) • Đường parabol nằm ngang thường gặp có phương trình x= ay2 ( a 0) , phương trình này x biến đổi thành y = ứng với hai nhánh phía trên và phía dưới trục hoành. a • Chú ý: -Đường tròn bán kính R có diện tích S= 푅2. -Công thức tính nhanh diện tích parabol
2. 2 Bài toán : Các bài toán đưa về dạng cơ bản y= f ( x ) y= f ( x ) y= f ( x ) y= f ( x ) y= f ( x ) y= f ( x ) y = 0 hoặc y = 0 hoặc hoặc y= g( x ) hoặc y= g( x ) hoặc y = 0 y= g( x ) x== a;x b xa= x== a;x b xa= Chú ý: Nếu chưa đủ cận tích phân ta tiến hành xét phương trình hoành độ giao điểm của f(x)=0; f(x)= g(x)... 1. Tính diện tích hình phẳng liên quan đến parabol Câu 1: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng parabol, chiều rộng 8 m , chiều cao 12,5 m . Diện tích của cổng bằng bao nhiêu?( làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị m2) Lời giải Cách 1:Dùng kiến thức ứng dụng của tích phân vào diện tích hình phẳng Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng. Khi đó parabol có phương trình dạng y=+ ax2 c .
3. 3 Vì (P) đi qua đỉnh I (0;12,5) nên ta có c =12,5 . (P) cắt trục hoành tại hai điểm A(−4;0) và B(4;0) nên ta có −c 25 25 0= 16a + c a = = − . Do đó (P) : y= − x2 + 12,5 . 16 32 32 4 25 200 S= − x2 +12,5 dx = m 2 66,7(m 2 ) Diện tích của cổng là: ( ) . −4 32 3 Cách 2:Sử dụng công thức tính nhanh. Ta có parabol đã cho có chiều cao là h =12,5 m và bán kính đáy OD== OE 4 m. 4 200 Do đó diện tích parabol đã cho là: S= rh =( m22) 66,7(m ). 33 Câu 2: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là bao nhiêu?( đơn vị nghìn đồng) Trả lời:.... Lời giải : đáp án 6750 Gọi phương trình parabol (P) : y= ax2 + bx + c . Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho (P) có đỉnh I Oy .
4. 4 9 = c,9( I( P)) 4 c = 4 93 Ta có hệ phương trình: a− b + c =01( A ( P)) a = − . 42 b = 0 93 a+ b + c =0( B ( P)) 42 9 Vậy (P) : y= − x2 + . 4 Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: 33 9 22 3 4 29 2 9 −x 9 9 2 S= − x + d x = 2 − x + d x = 2 + x = m . 3 4 4 3 4 2 − 0 0 2 9 Số tiền phải trả là: .1500000= 6750000 đồng. 2 Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh 2 2 Diện tích cửa nhà là S= Dh =.3.2,25( m22) = 4,5(m ). 33 Số tiền phải trả là: đồng. Câu 3: Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m . Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh MN, nằm trên Parabol và hai đỉnh P , Q nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200.000 đồng /m2 , biết MN==4 m, MQ 6 m . Hỏi số tiền để mua hoa trang trí gần với số tiền nào sau đây ? A. 3373400 đồng. B. 3434300 đồng. C. 3437300 đồng. D. 3733300 đồng. Lời giải
5. 5 Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình parabol có dạng (P) : y= ax2 + bx + c . 1 a =− A(−4;0) ( P) 16 a − 4 b + c = 0 2 Ta có: B(4;0) ( P) 16 a + 4 b + c = 0 b = 0 N2;6 P 4 a + 2 b + c = 6 c = 8 ( ) ( ) 1 (P) :8 y = − x2 + 2 4 1 128 56 Diện tích để trang trí hoa là: S= − x2 +8 d x − S = − 4.6 = . MNPQ −4 2 3 3 56 Vậy số tiền để mua hoa trang trí:  200000 3733300 đồng. 3 Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh 2 2 128 Diện tích cổng là: S= Dh =.8.8( m22) = (m ). 3 3 3 Diện tích tấm phông là: 4.6=24(m2). 128 Vậy số tiền để mua hoa trang trí: (− 24)  200000 3733300 đồng. 3 Câu 4.( Câu 4 phần III - Đề minh họa thi TNTHPT 2025) Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bẳng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?
6. 6 Lời giải Trả lời: 3200 −1 Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ. Ta có (30;0), (0;20)⇒(푃): = 2 + 20 45 30 −1 Khi đó diện tích phần parabol là 푆 = 4. ∫ ( 2 + 20) = 1600( 2) 1 0 45 2 Diện tích khu sinh hoạt cộng đồng là: 푆2 = 80.60 = 4800( ). Vậy diện tích phần sân chơi là: 4800–1600=3200( 2) Cách 2: sử dụng công thức tính nhanh
7. 7 2 Diện tích khu đất hình parabol là: 푆 = . 60.20.2 = 1600(( 2). 1 3 2 Diện tích khu sinh hoạt cộng đồng là :푆2 = 60.80 = 4800(( ). Vậy diện tích phần sân chơi là: 4800–1600=3200( 2). II.Bài tập tương tự Câu 5: Ông X muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một parabol, chất liệu làm là inox. Giá 1 m2 vật tư và công làm là 1.300.000 đồng. Hỏi ông X phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy. Lời giải 19 19 19 19 Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó IJ − ;,; 10 5 10 5 Đường cong phía trên là một parabol có phương trình dạng y=+ ax2 b , với ab; . 9 70 9 Do Parabol đi qua các điểm IJ, và chiều cao cổng là m nên có yx= −2 + . 2 361 2 Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 70 9 19 19 yx= −2 + , trục hoành và hai đường thẳng xx= −; = . 361 2 10 10 19 10 702 9 1216 Ta có S= − x + dx = . 19 361 2 75 − 10 1216 Vậy ông X phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là: 1300000 21077330 (đồng). 75 Cách 2: Chia cánh cửa thành 2 phần: phần 1 là parabol, phần 2 là hình chữa nhật. 2 Vậy ông phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là: (3,82 + .3,8.0,7) 1300000 21077330 ( đồng) 3
8. 8 Câu 6: Một hoa văn hình tròn tâm O , ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh AB = 4 3 cm . Đường cong qua ba điểm A , BC, là một phần của parabol. Diện tích phần gạch chéo bằng bao nhiêu? Lời giải Do tam giác ABC là tam giác đều có cạnh 4 3 cm nên 32 CD=4 3  = 6( cm) OC = CD = 4( cm) và OD= 2( cm) . 23 Gắn trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có A(−−2 3; 2), BC(2 3;− 2) ,( 0;4) . Phương trình đường parabol đi qua 3 điểm ABC,, có đỉnh C có dạng y=+ ax2 4( P) . 11 Thay toạ độ điểm B 2 3;− 2 vào (P) suy ra a= − ( P) :4 y = − x2 + ( ) 22 Phương trình đường tròn tâm O bán kính OA = 4 là xy22+=16 . 2 Phương trình một phần cung nhỏ AB có dạng yx= −16 − 2 3 1 2 2 2 Vậy diện tích phần gạch chéo bằng −x +4 −( − 16 −x ) dx 37,5( cm ) . −2 3 2 √3 √3 Cách 2: = . = . 4√3 = 6( ). 2 2 2 2 Diện tích Phần parabol 푆 = . . = . 6.4√3 = 16√3( 2) 3 3 Phương trình đường tròn tâm bán kính là . Phương trình một phần cung nhỏ có dạng 23 Diện tích phần gạch chéo chứa cung AB S= −−16 x2 dx . −23
9. 9 23 Diện tích phần gạch chéo S=16 3 − −−16 x2 dx 37,5(c m2 ) . −23 Câu 7: