Đề cương ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm và tích phân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm và tích phân

1. I.NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F'(x) f (x) , x K Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: f (x)dx F(x) C , C R. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất f '(x)dx f (x) C f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx (k 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp xn1 1) k.dx k.x C 2) xn dx C n1 11 1 3) dx C 4) dx ln x C xx2 x 11 11 5) dx C; 6) dx ln ax b C (ax b)n a(n 1)(ax b) n 1 (ax b) a 7) sin x.dx cos x C 8) cos x.dx sin x C 1 1 9) sin(ax b)dx cos(ax b) C 10) cos(ax b)dx sin(ax b) C a a 1 1 11) dx (1 tan2 x).dx tan x C 12) dx 1 cot2 x dx cot x C 2 2 cos x sin x 11 11 13) dx tan(ax b) C 14) dx cot(ax b) C cos2 (ax b) a sin2 (ax b) a 15) exx dx e C 16) e xx dx e C 1 ax 17) e(ax b) dx e (ax b) C 18) ax dx C a ln a 1 1 1 x 1 19) dx arctan x C 20) dx ln C x12 x2 1 2 x 1 1 1 x 1 1 x a 21) dx arctan C 22) dx ln C x22 a a a x22 a 2a x a II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ +Phương pháp + Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản + Cách giải:
2. +Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số f u(x) .u' (x)dx F[u(x)] C ( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ). Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như: 1 t anx ;sinx  cos x;.... cos2 x - Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau : + Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó: f (u(x)).u, (x).dx + Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :  f(x) chứa biểu thức ax22 . Đặt x = |a|sint (- t ) 22  f(x) chứa biểu thức ax22 hoặc a2 + x2 . Đặt x = |a|tant ( t ) 22 22 | a |  f(x) chứa biểu thức xa . Đặt x = ( t  0; \ ) cos t 2 III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN +Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx (*) + Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau: -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit -f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ Cách giải : - Dùng công thức (*) - Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm) Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
3. P(x)ex dx P(x)cosxdx P(x)sinxdx P(x)lnxdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv ex dx cosxdx sin xdx P(x) IV. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là f (x)dx . a b f (x)dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du ... F(b) F(a) a a a Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường b thẳng x = a, x = b là: S f (x)dx a 2. Tính chất của tích phân 0 ba bb f (x)dx 0 f (x)dx f (x)dx kf (x)dx k f (x)dx (k: const) 0 ab aa b b b b c b f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a a a a c b Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì f (x)dx 0 a bb Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì f (x)dx g(x)dx aa 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u(b) f u(x) .u '(x)dx f (u)du a u(a) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
4. bb b udv uv vdu a aa Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho vdu dễ tính a b hơn udv . a