Tài liệu ôn tập tốt nghiệp THPT Toán - Chuyên đề 8: Tổ hợp. Xác suất

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập tốt nghiệp THPT Toán - Chuyên đề 8: Tổ hợp. Xác suất

1. CHUYÊN ĐỀ 8: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC I. PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP k * Chú ý: tính chất cơ bản của số Cn ) Ak (1) Ak k!C k C k n . n n n k! k n k (2) Cho 2 số nguyên dương n và k với 0 k n . Khi đó Cn Cn . k k k 1 (3) Hằng đẳng thức Pascal: Cho 2 số nguyên dương n và k với 1 k n . Khi đó Cn 1 Cn Cn . II. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n a b Cn a b Cn a Cna b ... Cn a b ... Cn b . k 0 III. XÁC SUẤT 1. Một số khái niệm Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố Mô tả khái niệm   là Không gian mẫu Là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử A  A là biến cố ( A   ) Là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử A  A là biến cố không T . A  A là biến cố chắc chắn Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện hiện phép thử T . C A B C là biến cố “ A hoặc B ” Là hợp của các biến cố A và B . C A B (hoặc C là biến cố “ A và B ” Là giao của các biến cố A và B C A.B ). A B  A và B xung khắc Hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra Nếu chúng tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ ( A xảy B A  \ A A và B đối nhau ra khi và chỉ khi B A không xảy ra) Nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc Hai biến cố độc lập xảy ra biến cố kia
2. 2. Xác suất Chú ý: (1) Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có các bước để tính xác suất của một biến cố như sau: Bước 1: Xác định không gian mẫu  rồi tính số phần tử của  , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T . Bước 2: Xác định tập con A mô tả biến cố A rồi tính số phần tử của A , tứ là đếm số kết quả thuận loại cho A . Có thể tính số phần tử của A rồi mới suy ra số phần tử của A . Bước 3: Lấy kết quả của bước 2 chia cho bước 1. (2) Nếu A và B độc lập thì A và B độc lập, B và A độc lập, B và A độc lập. Do đó Nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức: P AB P A .P B P AB P A .P B P AB P A .P B * Nếu một trong các đẳng thức trên bị vi phạm thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau B. BÀI TẬP MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. B. Gọi P A là xác suất của biến cố A ta luôn có 0 P A 1. C. Biến cố là tập con của không gian mẫu. D. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không biết được chính xác kết quả của nó nhưng ta có thể biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Câu 2: Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là: n! n! n! n! A. Ak . B. Ak . C. C k . D. C k . n n k ! n n k !k! n n k !k! n n k ! Câu 3: Xét một phép thử có không gian mẫu  và A là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai ? A. P A 0 khi và chỉ khi A là chắc chắn. B. P A 1 P A . n A C. Xác suất của biến cố A là P A . D. 0 P A 1. n  Câu 4: Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
3. A. P A B P A P B . B. P A B P A .P B . C. P A B P A P B . D. P A B P A P B . k Câu 5: Kí hiệu An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 1 k n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n! n! n! n! A. Ak . B. Ak . C. Ak . D. Ak . n n k ! n k! n k ! n k! n k ! n n k ! Câu 6: Trong khai triển a b n , số hạng tổng quát của khai triển? k 1 n 1 n k 1 k n k k k 1 n k 1 k 1 k n k n k A. Cn a b . B. Cn a b . C. Cn a b . D. Cn a b . Câu 7: Cho k , n k n là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai? n! A. Ak k!.C k . B. C k . C. C k C n k . D. Ak n!.C k . n n n k!. n k ! n n n n Câu 8: Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật. A. 20 . B. 11. C. 30 . D. 10. Câu 9: Trong đội văn nghệ của lớp gồm 6 nam và 8 nữ. Họ chọn ra 1 nam và 1 nữ diễn tập làm hai người dẫn chương trình (Gọi tắt là MC) thì có bao nhiêu cách chọn? A. 14. B. 48. C. 2. D. 1. Câu 10: Một nhóm học sinh gồm 9 học sinh nam và x học sinh nữ. Biết rằng có 15 cách chọn ra một học sinh từ nhóm học sinh trên, khi đó giá trị của x là A. 24 B. 225 C. 12 D. 6 Câu 11: Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử ? A. 24 . B. 720 . C. 840 . D. 35 . Câu 12: Các thành phố A , B , C được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần? A B C A. 8 . B. 12. C. 6 . D. 4 . Câu 13: Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5? 4 4 A. A5 . B. P5 . C. C5 . D. P4 . Câu 14: Danh sách lớp của bạn Nam đánh số từ 1 đến 45 . Nam có số thứ tự là 21. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp để trực nhật. Tính xác suất để chọn được bạn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam. 7 1 4 24 A. . B. . C. . D. . 5 45 5 45 Câu 15: Một tổ có 6 học sịnh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó có đúng 2 học sinh nam? 2 4 2 4 2 4 2 4 A. C6 C9 . B. C6 C13 . C. A6 A9 . D. C6 C9 . Câu 16: Từ các chữ số 1; 2 ; 3 ; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 12 . B. 24 . C. 42 . D. 44 . Câu 17: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là 8 2 2 2 A. A10 . B. A10 . C. C10 . D. 10 . Câu 18: Một hình lập phương có cạnh 4cm . Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm . Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ? A. 16. B. 72 . C. 24 . D. 96 . Câu 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 55 . B. 5!. C. 4!. D. 5 . Câu 20: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn. A. 25 . B. 75. C. 100. D. 15.
4. 3 Câu 21: Cn 10 thì n có giá trị là : A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Câu 22: Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức 2x 3 2020 A. 2021. B. 2019 . C. 2018 . D. 2020 . Câu 23: Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A. 80 . B. 60 . C. 90 . D. 70 . Câu 24: Số tập con của tập hợp gồm 2020 phần tử là A. 2020 . B. 22020 . C. 20202 . D. 2.2020 . Câu 25: Số hoán vị của n phần tử là A. n!. B. 2n . C. n2 . D. nn . Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau? 5 5 5 A. 5!. B. 9 . C. C9 . D. A9 . Câu 27: Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ? 2 2 2 1 1 1 A. C38 . B. A38 . C. C20C18 . D. C20C18 . Câu 28: Cho tập hợp A có 20 phần tử, số tập con có hai phần tử của A là 2 2 2 2 A. 2C20 . B. 2A20 . C. C20 . D. A20 . Câu 29: Cho 8 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8 điểm trên? A. 336 . B. 56 . C. 168. D. 84 . Câu 30: Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi trong hộp? A. 10. B. 20 . C. 5 . D. 6 . Câu 31: Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là A. 50 . B. 100. C. 120. D. 45 . 1 1 Câu 32: Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Biết P A , P B . Tính P A B . 3 4 7 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 7 2 Câu 33: Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ các đỉnh này là 3 3 3 3 A. A20 . B. 3!C20 . C. 10 . D. C20 . Câu 34: Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là A. 10!. B. 102 . C. 210 . D. 1010 . Câu 35: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu cách chọn? A. 55440 . B. 120. C. 462 . D. 39916800 . Câu 36: Cho tập hợp S 1;2;3;4;5;6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập hợp S ? A. 360 . B. 120. C. 15. D. 20 . Câu 37: Phân công 3 bạn từ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau? A. 720 . B. 103 . C. 120. D. 210 . Câu 38: Cho A là tập hợp gồm 20 điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có hai đầu mút phân biệt thuộc tập A là A. 170. B. 160. C. 190. D. 360 . * 5 5 Câu 39: Cho n ¥ thỏa mãn Cn 2002 . Tính An . A. 2007 . B. 10010. C. 40040 . D. 240240 . Câu 40: Cho tập hợp gồm 7 phần tử. Mỗi tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp S là A. Số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. B. Số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. C. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. D. Một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
5. MỨC ĐỘ 2, 3 Câu 41: Lớp 11B có 25 đoàn viên trong đó 10 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng 3. Tính xác suất để 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ. 3 7 27 9 A. . B. . C. . D. . 115 920 92 92 2 2 Câu 42: Cho số tự nhiên n thỏa mãn Cn An 9n . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. n chia hết cho 7 . B. n chia hết cho 5 . C. n chia hết cho 2 . D. n chia hết cho 3 . Câu 43: Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào 4 ghế sắp thành hàng ngang. Xác suất sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau bằng 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3 Câu 44: Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ. 2 7 8 1 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 3 Câu 45: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là 1 1 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 Câu 46: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số và 3 chữ số đó đôi một khác nhau? 3 3 3 3 A. A10 A9 . B. A9 . C. A10 . D. 9 9 8 . Câu 47: Hệ số của x5 trong khai triển 1 x 12 là: A. 820 . B. 210 . C. 792 . D. 220 . Câu 48: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Tân Phong có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12 , 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối. 5 6 21 15 A. . B. . C. . D. . 11 11 22 22 Câu 49: Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại. 631 189 1 1 A. . B. . C. . D. . 3375 1003 5 15 Câu 50: Tính tổng các hệ số trong khai triển 1 2x 2020 . A. 1. B. 1. C. 2018 . D. 2018 . Câu 51: Lớp 12C1 có 20 bạn nữ, lớp 12C2 có 16 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn một bạn nữ lớp 12C1 và một bạn nam lớp 12C2 để dẫn chương trình hoạt động ngoại khóa? A. 36 . B. 320 . C. 1220. D. 630 . Câu 52: Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II? A. 246 . B. 3480 . C. 245 . D. 3360 . Câu 53: Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. 4615 4651 4615 4610 A. . B. . C. . D. . 5236 5236 5263 5236 3 x 2 2 Câu 54: Gọi a là nghiệm của phương trình Ax Cx 14x . Tính giá trị biểu thức P a 3a 2020 A. P 2023. B. P 2038 . C. P 2030 . D. P 2024 .
6. Câu 55: Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. 2 7 11 7 A. . B. . C. . D. . 5 24 12 9 Câu 56: Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt. 135 3 244 15 A. . B. . C. . D. 988 247 247 26 Câu 57: Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 1 13 12 313 A. . B. . C. . D. . 2 25 25 625 Câu 58: Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng. Tính xác suất để lấy được hai viên bi khác màu? A. 67,6%. B. 29,5%. C. 32,4%. D. 70,5%. Câu 59: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4 ? A. 249 . B. 1500. C. 3204 . D. 2942 . Câu 60: Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 , gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 5 10 Câu 61: Gọi X là tập các số tự nhiên có 10 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2 , 3 . Chọn một số thuộc X . Tính xác suất để số được chọn có đúng 5 chữ số 1; 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3 ? 280 13 157 20 A. . B. . C. . D. . 6561 2130 159 31 Câu 62: Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây. 1 1 15 25 A. . B. . C. . D. . 8 10 154 154 Câu 63: Tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A . Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải) ? 74 62 1 3 A. . B. . C. . D. . 411 431 216 350 Câu 64: Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ. 251 A. 11 . B. 110 . C. 46 . D. . 7 570 57 285 Câu 65: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2 , 3 , 4 , , 9 . Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn. 1 5 8 13 A. . B. . C. . D. . 6 18 9 18 Câu 66: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1. 7 7 189 7 A. . B. . C. . D. . 125 150 1250 375 Câu 67: Cho X 0,1,2,3,...,15 . Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp X . Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp. 13 7 20 13 A. . B. . C. . D. . 35 20 35 20