Chuyên đề Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải 1 số bài toán thực tế

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải 1 số bài toán thực tế

1. 1 CHUYÊN ĐỀ: Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải một số bài toán thực tế. 1. Kiến thức liên quan 1.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN a. Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn xy, có dạng tổng quát là ax+ by c (1) (ax+ by c;; ax + by c ax + by c) trong đó abc,, là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. b. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax+ by c như sau (tương tự cho bất phương trình ax+ by c ) - Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax+= by c. - Bước 2. Lấy một điểm M0( x 0; y 0 ) không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ O ) - Bước 3. Tính ax00+ by và so sánh ax00+ by với c. - Bước 4. Kết luận Nếu ax00+ by c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M 0 là miền nghiệm của ax00+ by c. Nếu ax00+ by c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa M 0 là miền nghiệm của ax00+ by c. Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax00+ by c bỏ đi đường thẳng ax+= by c là miền nghiệm của bất phương trình ax00+ by c. 1.2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn a. Định nghĩa Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn xy, mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2. 2 Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ta làm như sau: - Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. - Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm. *Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức F x, y ax by với xy; nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của F(;) x y tương ứng với xy; là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận: Giá trị lớn nhất của là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giá trị nhỏ nhất của là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. 2. Các bước giải bài toán có nội dung thực tế a. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Nghiên cứu đề bài đặt ẩn và điều kiện cho ẩn. b. Xây dựng mô hình toán học: Lập bảng để biểu thị mối quan hệ giữa các dữ kiện đầu bài cho c. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được. d. Quy bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. 3. Một số bài toán thực tế điển hình Bài toán 1. Bài toán lập phương án sản xuất Câu 1. Người ta định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 120 kg hóa chất A và 9 kg hóa chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II. Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất Gọi x là số tấn nguyên liệu loại I, y là số tấn nguyên liệu loại II. Điều kiện 0 xy 10,0 9.
3. 3 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Giá tiền Chất A(kg) Chất B(kg) (triệu đồng) Nguyên liệu loại I(x tấn) 4x 20x 0,6x Nguyên liệu loại II(y tấn) 3y 10y 1,5y Tổng 4x+3y 20x+10y 0,6x+1,5y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : 0 x 10 09 y Từ giả thiết ta có hệ (*) 20xy+ 10 140 0,6xy+ 1,5 9 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm x, y để f( x ; y )=+ 4 x 3 y đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ (*) . Lời giải Gọi số tấn nguyên liệu loại I cần sử dụng là x (tấn) ; số tấn nguyên liệu loại II cần sử dụng là y (tấn). Đk: 0 xy 10, 0 9. Chi phí mua nguyên liệu cần bỏ ra là : f( x; y) =+ 4 x 3 y ( triệu đồng ). Khi đó số kg chất A thu được là: 20xy+ 10 Số kg chất B thu được là :0,6xy+ 1,5 . 0 x 10 0 x 10 09 y 09 y Ta có hệ bất phương trình: . 20xy+ 10 120 2xy+ 12 0,6xy+ 1,5 9 2xy+ 5 30 Bài toán trở thành: Tìm (xy, ) là nghiệm của hệ bất phương trình (*) sao cho f( x , y )=+ 4 x 3 y đạt giá trị nhỏ nhất. Vẽ các đường thẳng:(d1) : x= 10,( d 2) : y = 9,( d 3) : 2 x + y = 12,( d 4 ) : 2 x + 5 y = 30 Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác (kể cả biên) như hình vẽ:
4. 4 3 (d23) =( d) A ;9 , (d21) =( d) B(10;9) , 2 15 9 (d14) =( d) C (10;2) ; (d43) =( d) D ; 42 M( x; y) A B C D f( x , y )=+ 4 x 3 y 33 67 46 28,5 15 9 Do đó f( x; y) đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm tại D ; . 42 15 Vậy để chi phí nguyên liệu là ít nhất ta cần sử dụng = 3,75 tấn nguyên liệu 4 9 loại I và = 4,5 tấn nguyên liệu loại II. 2 Câu 2. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3.000.000 đồng trên 100m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100 m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180 . Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem trồng mỗi loại bao nhiêu cây để thu được nhiều tiền nhất. Gọi x00 là số m2 đất trồng đậu, y00 là số m2 đất trồng cà. Điều kiện x 0 , y 0. 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Số công Số tiền thu được Diện tích trồng đậu là (m2) 20x 3x Diện tích trồng cà là (m2) 30y 4y Tổng 20x+30y T= 4x+3y
5. 5 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : xy+ 8 20xy+ 30 180 Từ giả thiết ta có hệ (*) x 0 y 0 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị x, y để T( x; y) =+ 4 x 3 y đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi là số x00 m2 đất trồng đậu, là số y00 m2 đất trồng cà. Điều kiện , . Số tiền thu được là T=+34 x y triệu đồng. xy+ 8 xy+ 8 M x; y20xy+ 30 180 2xy+ 3 18 Theo bài ra ta có( ) (*) A B (*) C x 0 x 0 y 0 y 0 Miền nghiệm của hệ (*) là miền tứ giác OABC(kể cả biên) với đỉnh A(0;6) , B(6;2) , C (8;0) , O(0;0) . 800 O x 0 T( x , y )=+ 4 x 3 y 18 30 32 0 y 0 Do đó T( x; y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm tại . Vậy để thu được nhiều tiền nhất bác nông dân cần trồng cả m2 là đậu. Câu x3. Nhân dịp tết Trung Thu cửa hàngy cô Ba muốn sản xuất hai loại bánh là bánh đậu xanh và bánh thập cẩm. Với mỗi bánh đậu xanh cần 0.06kg đường và 0.08kg đậu. Với mỗi bánh thập cẩm cần 0.08kg đường và 0.04kg đậu. Biết rằng cô Ba chỉ mua được 300kg đường và 200kg đậu và với mỗi bánh đậu xanh bán
6. 6 ra cửa hàng lãi 18000 đồng, mỗi bánh thập cẩm bán ra lãi 20000 đồng. Giả sử cô Ba không mua thêm được nhiên liệu và số bánh làm ra luôn bán hết, Cô Ba nên sản xuất bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để số tiền lời thu được nhiều nhất. Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem làm nên làm mỗi loại bao nhiêu chiếc bánh để thu được số tiền lãi nhiều nhất. Gọi số bánh đậu xanh làm được là xx.0( ), số bánh thập cẩm làm được là yy.0( ) . 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Đường(kg) Đậu(kg) Tiền lãi (nghìn đồng) Số bánh đậu xanh là x (chiếc) 0.06x 0.08x 18x Số bánh thập cẩm là y (chiếc) 0.08y 0.04y 20y Tổng 0.06x+0.08y 0.08x+0.04y 18x+20y (*) 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : Từ giả thiết ta có hệ x 0 x 01( ) y 0 y 02( ) 0.06xy+ 0.08 300 3xy+ 4 − 15000 0( 3) 0.08xy+ 0.04 200 2xy+ − 5000 0( 4) 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị x, y sao cho f( x ; y )=+ 18 x 20 y đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi số bánh đậu xanh làm được là . Lượng đường cần dùng là 0.06x , lượng đậu cần dùng là 0.08x Gọi số bánh thập cẩm làm được là . Lượng đường cần dùng là 0.08x , lượng đậu cần dùng là 0.04x Số tiền cô Ba khi bán hết số bánh làm ra là 18xy+ 20 ( nghìn đồng )
7. 7 Dựa vào dữ kiện của đề bài ta có hệ bất phương trình Ta vẽ các đường thẳng (d1) : x= 0,( d 2) : y = 0,( d 3) :3 x + 4 y − 15000 = 0,( d 4 ) : 2 x + y − 5000 = 0 trên cùng hệ trục tọa độ. Ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD kể cả biên (ddAddB1) ( 2) =(0;0) ,( 1) ( 3) =( 0;3750) ,( ddD 2) ( 4) =( 2500;0) ,( ddC 3) ( 4 ) = ( 1000;3000) M( x; y) A B C x 0 x 01( ) y 0 y 02( ) 0.06xy+ 0.08 300 3xy+ 4 − 15000 0( 3) 0.08xy+ 0.04 200 2xy+ − 5000 0( 4) Ta có D T( x , y )=+ 18 x 20 y 0 75000000 78000000 45000000 Do đó đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm tại C (1000;3000). Vậy để số tiền lời thu được nhiều nhất cô Ba cần sản xuất 1000 bánh đậu xanh và 3000 bánh thập cẩm. Câu 4. Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. T( x; y) Sản xuất 1 tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong 3 giờ và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 2 triệu. Sản xuất 1 tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong 1 giờ, tiền lãi là 1 triệu. Một máy không thể sản xuất cả 2 loại. Máy cắt làm không quá 6 giờ/ngày, máy tiện làm không quá 4 giờ/ngày. Một ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại để tiền lãi cao nhất.
8. 8 Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem làm nên sản xuất mỗi loại bao nhiêu tấn để thu được số tiền lãi nhiều nhất. Gọi số tấn trục sắt sản xuất trong ngày là x tấn , số tấn đinh ốc là y tấn ( xy,0 ) . 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Máy cắt (giờ) Máy tiện(giờ) Tiền lãi (triệu đồng) Số tấn trục sắt là x (tấn) 3x x 2x Số tấn đinh ốc là y (tấn) y y y Tổng 3x + y x+y 2x+y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : 36xy+ (* )xy+ 4 Từ giả thiết ta có hệ : (*) x 0 y 0 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị x, y sao cho L( x ; y )=+ 2 x y lớn nhất trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi x, y ( x 0, y 0) là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày. Số tiền lãi mỗi ngày: L( x , y )=+ 2 x y (triệu đồng). Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt: 3xy+ (giờ). Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện: xy+ (giờ). Ta có hệ phương trình: Ta vẽ các đường thẳng (d1) :0, x=( d 2) :0, y =( d 3) :3 x + y = 6,( d 4 ) : x + y = 4 trên cùng hệ trục tọa độ. Ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với OABC(0;0), (2;0), (1;3), (0;4)
9. 9 O A B C L( x , y )=+ 2 x y 4 5 4 Suy ra GTLN của L( x; y) bằng 5 khi (xy;) = ( 1;3) M( x; y) Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất. Bài toán 2. Bài toán thực đơn, dinh dưỡng. Câu 1. Một người trưởng thành cần ít nhất 180 gam protein và 60 gam chất béo trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi 100 gam trứng chứa 20 gam protein và 10 gam chất béo. Mỗi 100 gam cá chứa 24 gam protein và 12 gam chất béo. Một gia đình gồm 4 người trưởng thành và gia đình này trong một ngày chỉ mua nhiều nhất là 15 quả trứng và 3,5 kilôgam cá; giá thành 1 quả trứng là 5000 đồng và 1 kilôgam cá là 80000 đồng. Biết rằng trung bình một quả trứng nặng 60 gam. Tính chi phí thấp nhất đ0ể gia đình này mua trứng và cá vẫn đảm bảo dinh dưỡng. Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem chi phí thấp nhất để gia đình này mua trứng và cá vẫn đảm bảo dinh dưỡng. Gọi x và y lần lượt là số quả trứng và số kilôgam cá mà gia đình đó mua trong một ngày (0 xy 15;0 3,5) 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Protein Chất béo Chi phí (nghìn đồng) Số quả trứng x (quả) 12x 6x 5x Số kg cá là y (kg) 240y 120y 80y Tổng 12x +240 y 6x+120y 5x+80y
10. 10 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : 0 x 15 0 y 3,5 Từ giả thiết ta có hệ : 12xy+ 240 720 6xy+ 120 240 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f( x; y) =+ 5 x 80 y trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi và lần lượt là số quả trứng và số kilôgam cá mà gia đình đó mua trong một ngày . Trong x quả trứng có 12x gam protein và 6x gam chất béo. Trong y kilôgam cá có 240y gam protein và 120y gam chất béo. (*) * Một người trưởng thành cần ít nhất( ) 180 gam protein và 60 gam chất béo trong thức ăn mỗi ngày. Vậy 4 người trưởng thành cần ít nhất 720 gam protein và 240 gam chất béo trong một ngày. Do đó ta có hệ bất phương trình sau: 0 x 15 0 x 15 0 y 3,5 0 y 3,5 . xy+ 20 60 xy+ 20 60 xy+ 20 40 Vẽ các đường thẳng d1 : x+ 20 y − 60 = 0 ; x = 0 ; x =15; y = 0; y = 3,5 trên cùng hệ trục tọa độ. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) với A(15;3,5) ; B(15;2,25); C (0;3) ; D(0;3,5) . x y (0 xy 15;0 3,5)
11. 11 Chi phí để mua x quả trứng và y kilôgam cá là (nghìn đồng). f( x , y )=+ 5 x 80 y 355 255 240 280 Hàm số f( x; y) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 240 khi (xy;) = ( 0;3) . Vậy chi phí thấp nhất để mua trứng và cá cho 4 người trưởng thành trong một ngày là 240 nghìn đồng. f( x; y) =+ 5 x 80 y Câu 2. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất. M( x; y) (*) A B C D Phân tích bài (toán*) xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem nên mua bao nhiêu cân thịt mỗi loại để chi phí thấp nhất. Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn điều kiện: 0 x 1,6 và 0 y 1,1. 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Protein Lipit Chi phí (nghìn đồng) Số ki lô gam thịt bò là x 800x 200x 250x Số ki lô gam thịt lợn là y 600y 400y 160y Tổng 800x +600 y 200x+400y 250x+160y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : 0 x 1,6 0 x 1,6 0 y 1,1 0 y 1,1 800xy+ 600 900 8xy+ 6 9 200xy+ 400 400 xy+ 22 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị x, y để f( x; y) =+ 250 x 160 y nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ .
12. 12 x y Lời giải a) Giả sử gia đình này mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện: và . Gia đình fnày( x; ycần) ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 800xy+ 600 900 và 200xy+ 400 400 Hay 8xy+ 6 9 và xy+ 22 Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, ta có hệ bất phương trình sau: 0 x 1,6 0 y 1,1 8xy+ 6 9 xy+ 22 M( x; y) A B C D Vẽ các đường thẳng (a) : x= 1,6;( b) : y = 1,1;( c) :8 x + 6 y = 9,(): d x + 2 y = 2 trên cùng hệ trục toạ độ 0 x 1,6 0 y 1,1 Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) với A(0,3;1,1) , B(1,6;1,1), C (1,6;0,2) , D(0,6;0,7) . Chi phí để mua ki lô gam thịt bò và kilôgam thịt lợn là f( x; y) =+ 250 x 160 y (nghìn đồng). f( x , y )=+ 250 x 160 y 251 576 432 262 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 251 khi (xy;) = ( 0,3;1,1) .
13. 13 Vậy để chi phí thấp nhất gia đình đó cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn. Bài toán 3. Bài toán kinh doanh Câu 1. Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự đinh kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng Điều hoà hai chiều Điều hoà một chiều Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại, nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem nên mua mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là( *lớ)n nhất. Gọi xy, lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư ( xy 0, 0) 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Giá mua vào Lợi nhuận Số máy điều hòa 2 chiều là x 20x 3.5x Số máy điều hòa 1 chiều là y 10y 2y Tổng 20x +10 y 3.5x+2y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : x 0 y 0 Từ giả thiết ta có hệ : (*) xy+ 100 20xy+ 10 1200 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của L( x; y) =+ 3.5 x 2 y trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư Vì nhu cầu của thị trường không vượt quá 100 máy cả hai loại nên xy+ 100 . Số tiền đầu tư là 20xy+ 10 (triệu đồng) Vì số vốn ban đầu không qua 1,2 tỉ nên 20xy+ 10 1200 .
14. 14 Ta có hệ Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OMNP với OMNP(0;0) ,( 0;100) ,( 20;80) ,( 60;0) . M( x; y) Lợi nhuận thu về dự kiến: F( x, y) =+ 3,5 x 2 y (triệu đồng) O M N P F( x , y )=+ 3.5 x 2 y 0 200 230 210 Hàm số L( x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 230 khi (xy;) = ( 20;80) . Vậy để lợi nhuận nhiều nhất chủ của hàng cần nhập 20 máy diều hòa hai chiều và 80 máy một chiều. x 0 y 0 * Câu 2. Một công ty thời trang chuẩn (bị) cho một đợt khuyến mãi nhằm thu hút xy+ 100 khách hàng bằng cách 20tiếnxy+ hành 10 1200quảng cáo sản phẩm của công ty trên hai nền tảng mạng xã hội Tik Tok và You Tube. Biết chi phí cho 1000000 lượt xem quảng cáo trên Tik Tok là 20 triệu đồng, chi phí cho 1000000 lượt xem quảng cáo trên You Tube là 40 triệu đồng. Tik Tok chỉ nhận các hợp đồng trên 6000000 lượt xem. You Tube do các công ty có nhu cầu quảng cáo lớn nên chỉ nhận các hợp đồng dưới 3000000 lượt xem. Theo các phân tích, cùng một lượng lượt xem quảng cáo thì trên You Tube cho hiệu quả gấp 3 lần quảng cáo trên Tik Tok. Công ty thời trang dự tính chi 160 triệu cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo để đạt hiểu quả cao nhất. Tính T=+ x3 y với x (triệu lượt) là số lượt xem trên Tik Tok, y (triệu lượt) là số lượt xem trên You Tube
15. 15 Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem cần quảng cáo trên mỗi nền tảng thời gian bao nhiêu để có nhiều lượt xem nhất. Gọi số lượt xem trên Tik Tok là (triệu lượt) với x 6 , số lượt xem trên You Tube là (triệu lượt) với 03 y 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Chi phí(triệu đồng) Số lượt xem trên Tik Tok là x 20x Số lượt xem trên You Tube là y 40y Tổng 20x +40 y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : x 6 x 61( ) Từ giả thiết ta có hệ : 0 yy 3 0 3( 2) 20xy+ 40 160 xy+2 − 8 0( 3) 4. Giải quyết yêu cầu(* thực) tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị x, y trên miền nghiệm để T( x;3 y) =+ x y nhỏ nhất. Lời giải Gọi số lượt xem trên Tik Tok là (triệu lượt) với . Chi phí quảng cáo là 20x ( triệu đồng). Gọi số lượt xem trên You Tube là (triệu lượt) với . Chi phí quảng cáo là 40y ( triệu đồng) Dựa vào dữ kiện của đề bài ta có hệ bất phương trình Ta vẽ các đường thẳng (d1) : x= 6,( d 2) : y = 0,( d 3) : x + 280, y − =( d 4 ) : y = 3 trên cùng hệ trục tọa độ x y
16. 16 Ta được miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong và viền của tam giác ABC (d1) ( d 2) = B(6;0) ,( d 1) ( d 3) = A( 6;1) ,( d 2) ( d 3 ) = C ( 8;0) Hiệu quả thu được lớn nhất là giá trị lớn nhất của biểu thức: A B C T( x , y )=+ x 3 y 9 6 8 Hàm số T( x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi (xy;) = ( 6;1) . Vậy để hiệu quả lớn nhất công ty cần đặt quảng cáo 6 phút trên Tik Tok và 1 phút trên You Tube Bài toán 4. Bài toán pha trộn Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II . Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 M( x; y) (*) gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được( xy 600, điểm 0) thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu? Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội là bao nhiêu. Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y , 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Đường Nước Hương liệu Điểm thưởng Số lít nước loại I là x 10x x 4x 80x Số lít nước loại II là y 30y y y 60y Tổng 10x +30y x+y 4x+y 80x+60y 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : 10x+ 30 y 210 x + 3 y 210 4x+ y 24 4 x + y 24 Từ giả thiết ta có hệ : x+ y 99 x + y x, y 0 x , y 0 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f( x; y) =+ 80 x 60 y trên miền T=+ x3 y nghiệm của hệ
17. 17 Lời giải Gọi số lít nước ngọt loại là và số lít nước ngọt loại là . Khi đó ta có hệ điều kiện về vật liệu ban đầu mà mỗi đội được cung cấp: 10x+ 30 y 210 x + 3 y 21 4x+ y 24 4 x + y 24 (*) x+ y 99 x + y x, y 0 x , y 0 Ta vẽ các đường thẳng (a) : x+ 3 y 21,( b) : 4 x + y = 24,( c) : x + y = 9 trên cùng hệ trục tọa độ A B C D M( x; y) O Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD ( kể cả biên) với OABCD(0;0), (0;7), (3;6), (5;4), (6;0) Điểm thưởng nhận được làI x II y Điểm thưởng thu được lớn nhất là giá trị lớn nhất của biểu thức: f( x ; y )=+ 80 x 60 y O A B C D f( x , y )=+ 80 x 60 y 0 420 600 640 480 Hàm số f( x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 640 khi ( xy;) = ( 5;4) . Vậy điểm thưởng lớn nhất mà các đội có thể đạt được là điểm. Bài toán 5. Bài toán vận tải. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 ngưf(ờ x;i yvà) =+ trên 80 x 9 60 tấ yn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải
18. 18 thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng? Phân tích bài toán xây dựng các bước giải 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Tính toán xem thuê mỗi loại bao nhiêu xe để chi phí thấp nhất Gọi x là số xe loại A (0 xx 10; ) , y là số xe loại B (0 y 9; y ) . 2. Xây dựng mô hình toán học thích hợp: Số người chở tối đa Số tấn hàng Chi phí(triệu đồng) Xe A(x xe) 20x0 x 10 0.6x 4x 09 y Xe B(y xe) 10y (*) 1.5y 3y Tổng 20x+10y20xy+ 10 140 0.6x+1.5y T= 4x+3y 0,6xy+ 1,5 9 3. Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa trên các dữ liệu có được : (*) Từ giả thiết ta có hệ 4. Giải quyết yêu cầu thực tế trên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được : Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của T( x; y) =+ 4 x 3 y trên miền nghiệm của hệ . Lời giải Gọi là số xe loại , là số xe loại . Khi đó tổng chi phí thuê xe là T=+43 x y . Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là 20xy+ 10 . Xe A chở được 0,6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở được là 0,6xy+ 1,5 . 0 x 10 09 y Theo giả thiết, ta có (*) 20xy+ 10 140 0,6xy+ 1,5 9 Ta vẽ các đường thẳng (b) : x= 10,( d) : y = 9,( e) : 20 x + 10 y = 140,( f ) : 0,6 x + 1,5 y = 9 trên cùng hệ trục tọa độ
19. 19 C B D A Miền nghiệmM ( x của; y) hệ bất phương trình (*) là tứ giác ABCD với 5 ABCD(10;2) ;( 10;9) ; ;9 ;( 5;4) . Chi phí thuê xe thấp nhất là giá trị nhỏ nhất của 2 biểu thức T=+43 x y trên miền nghiệm của (*) Tại các đỉnh A B C D T( x , y )=+ 4 x 3 y 46 67 37 32 x = 5 Ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất Tmin = 32 tại y = 4 Vậy nên thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B thì chi phí thấp nhất. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 . Một hộ kinh doanh sản xuất 2 loại sản phẩm bán ra thị trường. Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại I cần 3 kg nguyên liệu và sản xuất trong 1 giờ, mỗi kg sản phẩm loại II cần 1 kg nguyên liệu và cũng sản xuất trong 1 giờ. Một kg sản phẩm loại I lãi 300 nghìn đồng, một kg sản phẩm loại II lãi 200 nghìn đồng . Mỗi ngày hộ sản xuất sử dụng không quá 6 kg nguyên liệu và làm việc không quá 4 giờ. Số tiền lãi lớn nhất mà gia đình có thể thu được trong ngày là bao nhiêu? Bài 2. Kinh Đô là một thương hiệu bánh nổi tiếng ở Việt Nam. Trong dịp tết trung thu An muốn đặt mua hai loại bánh để làm quà biếu cho bạn bè. Theo báo giá trên website thì bánh nướng một trứng thập cẩm Jambon là 50.000 VNĐ/1 cái còn bánh nướng một trứng đậu xanh là 40.000 VNĐ/1 cái. An dự định chi