Đề cương ôn tập học kì I Toán 12 - Năm học 2021-2022

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập học kì I Toán 12 - Năm học 2021-2022

1. ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 A. LÝ THUYẾT Phần I: Giải tích Chủ đề 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. 1. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm f x 0,x K trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn a;b .  Nếu f x 0,x K ( hoặc f x 0,x K ) và f x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 2. Kĩ năng cơ bản 2.1.Xét tính đơn điệu của hàm số y f ( x) trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y f (x) . Bước 3. Tìm nghiệm của f (x) hoặc những giá trị x làm cho f (x) không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. 2.2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f ( x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng a; b cho trước. Cho hàm số y f (x, m) có tập xác định D, khoảng (a;b)  D :  Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b)  Hàm số đồng biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) a x b  Chú ý: Riêng hàm số y 1 1 thì : cx d ▪ Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) ▪ Hàm số đồng biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) * Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g(x) ax2 bx c (a 0) a 0 a 0 a) g(x) 0,x R b) g(x) 0,x R 0 0 a 0 a 0 c) g(x) 0,x R d) g(x) 0,x R 0 0  Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b) ✓ Bước 1: Đưa bất phương trình f (x) 0 (hoặc f (x) 0 ), x (a;b) về dạng g(x) h(m) (hoặc g(x) h(m) ), x (a;b) . ✓ Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g (x) trên (a;b) . ✓ Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số
2. 1. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y f (x) liên tục trên K (x0 h; x0 h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, với h 0 . • Nếu f ' x 0 trên khoảng (x0 h; x0 ) và f '(x) 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) . • Nếu f x 0 trên khoảng (x0 h; x0 ) và f (x) 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) . Minh họa bằng bảng biến thiên x x0 h x0 x0 h x x0 h x0 x0 h f (x) f (x) fCÑ f (x) f (x) fCT Minh họa bằng đồ thị  Chú ý.  Nếu hàm số y f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ ( fCT ) , còn điểm M (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 Ta có y 3ax2 2bx c • Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b 2 3ac 0 . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : 2c 2b2 bc y x d . 3 9a 9a • Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 3 2 2 x b x i ax bx cx d 3ax 2bx c  Ai B y Ax B 3 9a y .y Hoặc sử dụng công thức y . 18a
3. • Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: 4e 16e3 b2 3ac AB với e a 9a 3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y ax4 bx2 c a 0 có đồ thị là C . x 0 y 4ax3 2bx; y 0 b x2 2a C có ba điểm cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt a.b 0 . b b 2 Khi đó ba điểm cực trị là: A 0;c , B ; , C ; với b 4ac 2a 4a 2a 4a Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D f (x) M ,x D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) M Kí hiệu: M max f (x) hoặc M max f (x) . x D D f (x) m,x D • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) m Kí hiệu: m min f (x) hoặc m min f (x) x D D 2. Kĩ năng cơ bản Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...) 2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên ✓ Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . ✓ Bước 2. Tìm các nghiệm của f (x) và các điểm f (x) không xác định trên K. ✓ Bước 3. Lập bảng biến thiên của f (x) trên K. ✓ Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f (x),max f (x) K K 2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên ❖ Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a;b] ✓ Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . ✓ Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi [a;b] của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i [a;b] làm cho f (x) không xác định. ✓ Bước 3. Tính f (a) , f (b) , f (xi ) , f ( i ) . ✓ Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . a;b a;b ❖ Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a;b) ✓ Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . ✓ Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi (a;b) của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i (a;b) làm cho f (x) không xác định. ✓ Bước 3. Tính A lim f (x) , B lim f (x) , f (xi ) , f ( i ) . x a x b ✓ Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . (a;b) (a;b) Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
4. Chủ đề 4: Đường tiệm cận 1. Đường tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực. Chỉ cần có một trong hai giới hạn sau: lim f (x) y0 , lim f (x) y0 thì ta kết luận y = y là tiệm cận x x 0 ngang. 2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x x0 x x0 x x0 x x0 P(x) Nếu y thì ta đi tìm x là các nghiệm của Q(x)= 0 . Sau đó mới tính giới hạn một bên tại Q(x) 0 x0 . 3. Kĩ năng sử dụng máy tính Ý tưởng: Giả sử cần tính lim f (x) ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của f (x) tại các giá x a trị của x rất gần a. Giới hạn của hàm số tại một điểm lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 . x a lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 . x a lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x a 10 9 hoặc x a 10 9 . x a Giới hạn của hàm số tại vô cực lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x 1010 . x lim f (x) thì nhập f (x) và tính giá trị tại x 1010 . x Chủ đề 5: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 1. Các dạng đồ thị hàm số thường gặp (Giải tích 12 trang 35, 38, 41). 2. Đồ thị hàm số y = f (x) Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) phía trên trục Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f (x) phía dưới trục Ox qua Ox. Bước 2: Xóa bỏ phần đồ thị hàm số y = f (x) phía bên dưới trục Ox. Khi này ta được đồ thị hàm số y = f (x) . Chú ý: Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) bằng số điểm cực trị của hàm số y = f (x) cộng với số điểm cắt của đồ thị hàm số y = f (x) với trục Ox. 3. Đồ thị hàm số y = f ( x ) Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm bên phải trục Oy và xóa bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy .
5. Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f (x) phía bên phải trục Oy qua Oy. Khi đó ta được đồ thị hàm số y = f ( x ). Chú ý: Nếu y = f (x) xác định tại x = 0 và có n điểm cực trị dương. Khi đó y = f ( x ) có 2n + 1 cực trị. Chủ đề 6+7+8+9: Mũ – lô ga rít 1. Các công thức: n 0 n 1 (1) a a a aa ( n số a) (2) a a 1 (3) a a n a   a   . (4) a a a ; (5) a ; (6) (a ) a ; a  m a a n n m (7) (ab) a b ; (8) ; (9) a a a b b 2. Các tính chất a 1: am an m n (1) Tính đồng biến, nghịch biến: m n 0 a 1:a a m n am bm m 0 (2) So sánh lũy thừa khác cơ số: Với a b 0 thì m m a b m 0 3. Tập xác định của hàm số y x : g D ¡ nếu là số nguyên dương. g D ¡ \ 0 với nguyên âm hoặc bằng 0. g D (0; ) với không nguyên. 4. Đạo hàm: Hàm số y x , ( ¡ ) có đạo hàm với mọi x 0 và (x ) .x 1. ; (u ) .u 1u '. 5. Đồ thị:hàm lũy thừa trên khoảng (0; ) Đồ thị của hàm số lũy thừa y x luôn đi qua điểm I(1;1). 1 2. Đẳng thức n x x n chỉ xảy ra nếu x 0 , do đó hàm số 1 y x n không đồng nhất với hàm số y n x n N * 6. LÔGARIT: Cho 0 a,c 1,b 0 , b1,b2 0 x (1) loga b a b (2) loga a 1, loga 1 0 (3) loga a x,(x R) loga x loga b (4) a x (x 0) (5) a b, loga (a ) (6) loga (b1.b2 ) loga b1 loga b2
6. b1 1 (7) loga loga b1 loga b2 (8) loga loga b (9) loga b loga b b2 b n 1 logc b 1 (10) loga b loga b (11) loga b (12) loga c n logc a logc a 1  (13) log b log b ( 0) (14) log b log b ( 0) a a a a (15) loga b.logb c loga c a;b;c 0;a;b 1 7. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT Đồ thị: x Đồ thị hàm số y a nằm phía trên trục Ox ; luôn đi Đồ thị hàm số y loga x nằm phía bên phải trục qua các điểm 0;1 và 1;a Oy ; luôn đi qua các điểm 1;0 và a;1 + Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit Hàm sơ cấp Hàm số hợp ex ' ex eu ' u '.eu a x ' a x ln a au ' u '.au .ln a 1 u ' ln x ' , x 0 ln u ' , (u 0) x u 1 u ' log x ' , x 0 log u ' , (u 0) a x.ln a a u.ln a 8. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương trình mũ Phương trình lôgarit 1. Phương trình mũ cơ bản: 1. Phương trình lôgarit cơ bản f x b a b f x loga b ( a,b 0,a 1) loga x b x a ( 0 a 1) 2. Phương pháp giải: 2. Phương pháp giải: a) Đưa về cùng cơ số a) Đưa về cùng cơ số a f x a g x f x g x f (x) 0 loga f (x) loga g(x) b) Đặt ẩn phụ f (x) g(x) (1) m.a2 f x n.a f x p 0 , đặt t a f (x) 0 b) Đặt ẩn phụ Đối với các phương trình biến đổi phức tạp thì (2) m.a f x n.a f x p 0, quy đồng đưa về (1). ta đặt t log f (x) f x f x a (3) m.( a b) n.( a b) p 0, trong c) Mũ hóa hai vế đó ( a b)( a b) k . Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau:
7. f x f x k 0 a 1 Đặt t ( a b) 0 ( a b) . * loga f x g x t f x a g x 2 f x f x 2 f x (4) m.a n. a.b p.b 0 . t f x a f x * log f x log g x t . 2 f x a a b t Chia hai vế cho b và đặt t 0 . g x b b Khử x trong hệ phương trình để thu được c) Lôgarit hóa hai vế f (x) f (x) f (x) f (x) phương trình theo ẩn t, giải phương trình này Có dạng a kb hoặc a .b k (với tìm t, từ đó tìm x. UCLN của (a, b) = 1) d) Sử dụng hàm số và đánh giá Khi đó lôgarit hai vế cơ số a hoặc b (nên chọn cơ số (1) a x f x : Sử dụng tính đơn điệu của hàm có số mũ phức tạp) d) Sử dụng hàm số và đánh giá số, chứng minh phương trình có nghiệm duy (1) a x f x : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, nhất (2) au u av v chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Xét hàm đặc trưng f t at t . CM hàm số (2) au u av v Xét hàm đặc trưng f t at t . CM hàm số đơn đơn điệu u v điệu u v 9. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương trình mũ Phương trình lôgarit 1. Phương trình mũ cơ bản: 1. Phương trình lôgarit cơ bản x x x x (1) Dạng: a b (hoặc a b,a b,a b ) với loga f (x) b; loga f (x) b; loga f (x) b; loga f (x) b a 0,a 1. ( a, b 0, a 1) 2. Phương pháp giải: 2. Phương pháp giải: (1) Dạng 1: g (x) (1) loga f (x) g(x) f (x) a (a 1) 0 a 1,b 0 (*) dung x R g (x) (2) loga f (x) g(x) f (x) a (0 a 1) f x a b * 0 a 1,b 0 * f x loga b (3) a 1 thì g(x) 0 a 1,b 0 * f x loga b loga f (x) loga g(x) (2) Dạng 2: f (x) g(x) 0 a 1,b 0 (*)VN (4) 0 a 1 thì f x f (x) 0 a b * 0 a 1,b 0 * f x loga b loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) a 1,b 0 * f x loga b (3) Dạng 3: a 1 (*) f x g x f x g x a a (*) 0 a 1 (*) f x g x Phần II: Hình học Chủ đề 1: Thể tích đa diện 1. Một số kiến thức trong hình học phẳng thường sử dụng a) Diện tích tam giác, tứ giác ① Diện tích tam giác vuông: ❖ Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông.
8. ② Diện tích và đường cao tam giác đều: ③ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật: ❖ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. ❖ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . ❖ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. ④ Diện tích hình thang: 1 ❖S Hình Thang .(đáy lớn + đáy bé) x 2 chiều cao ⑤Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: ❖ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo. ❖ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. b) Một số kiến thức khác: 1 1 abc S BC.AH AB.AC.sin A pr p( p a)( p b)( p c) ABC 2 2 4R AB2 AC 2 BC 2 Độ dài trung tuyến: AM 2 2 4 Định lí hàm số cosin: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A a b c Định lí hàm số sin: 2R sin A sin B sin C 2. Góc và khoảng cách trong không gian 2.1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: • a //a, b //b a¶,b a· ',b' • Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u,v) . neáu 00 1800 Khi đó: a¶,b 0 0 0 180 neáu 90 180 • Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 Chú ý: 00 a¶,b 900 b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900. • Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d là hình chiếu của d trên (P).
9. Chú ý: 00 d·,(P) 900. c) Góc giữa hai mặt phẳng a  (P) · ¶ • (P),(Q) a,b b  (Q) a  (P),a  c · ¶ • Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b b  (Q),b  c Chú ý: 00 (·P),(Q) 900 2.2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng d M , MH M Với H là hình chiếu vuông góc của M trên D (OH OM ,M ) H b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' : M K - D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau: d(D,D ') = 0. - D // D ' : d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D) ' H N c) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng M d M , MH H d Với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  d) Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng d , d M , , M M Với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0. H e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng M d ,  d M ,  d N, Với M , N ( ) H  f) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
10. d , ' MN M Với MN là độ dài đoạn vuông góc chung của D và D ' ' N 3. Thể tích khối đa diện Khối đa diện Nội dung Hình vẽ S 1 V S .h 3 đáy • S : Diện tích mặt đáy. h Khối chóp đáy • h : Độ dài chiều cao khối chóp. A D 1 V d .S O S.ABCD 3 S, ABCD ABCD C B A C A C V S .h đáy • S : Diện tích mặt đáy. B B Khối lăng trụ đáy h • : Chiều cao của khối chóp. A' C' A' C' Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. B' B' A D d Khối hộp chữ B C nhật V a.b.c A' D' c a b B' C' A D B C Khối lập phương V a3 A' D' B' C' V SA SB SC S.A B C . . VS.ABC SA SB SC Thể tích hình chóp cụt ABC.A B C Tỉ số thể tích h V B B BB 3 Với B,B ,h là diện tích hai đáy và chiều cao.
11. * Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt • Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3 • Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là : a2 b2 c2 Chủ đề 2: Khối nón – khối trụ - khối cầu 1. Mặt nón a) Các công thức cần nhớ. 2 Diện tích đáy: Sñ r Chu vi đáy: CVđ 2πr Diện tích xung quanh: Sxq rl Diện tích toàn phần: Stp Sxq Sñ 1 Thể tích khối nón: V r2h noùn 3 b) Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( ) đi qua đỉnh của mặt nón: + Mp( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh Thiết diện là tam giác cân. + Mp( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh ( ) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón. Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( ) không đi qua đỉnh của mặt nón: + Mp( ) vuông góc với trục hình nón Giao tuyến là 1 đường parabol. + Mp( ) song song với 2 đường sinh hình nón Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Mp( ) song song với 1 đường sinh hình nón Giao tuyến là một đường tròn. 2. Mặt trụ a) Các công thức cần nhớ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , khi đó:  Diện tích xung quanh Sxq 2 rh  Diện tích toàn phần của 2 Stp Sxq 2.SÐay 2 rh 2 r hình trụ  Thể tích khối trụ V B.h r2h b) Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng - Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng r và r cũng là bán kính của mặt trụ đó. - Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ 2r bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó là góc giữa trục và mp với sin 00 900 .
12. - Cho mp song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng d . + Nếu d r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật. + Nếu d r thì mp tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. + Nếu d r thì mp không cắt mặt trụ. 3. Mặt cầu a) Định nghĩa + Mặt cầu: S O; R M OM R. + Khối cầu: S O; R M OM R. b) Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu: Cho điểm A và mặt cầu S O; R . Ta có:  Điểm A thuộc mặt cầu OA R . Điểm A nằm trong mặt cầu OA R .  Điểm A nằm ngoài mặt cầu OA R . c) Giao của mặt cầu và mặt phẳng OH R OH R OH R P  (S) C và P và S không có P tiếp xúc S tại H 2 2 điểm chung ( H : tiếp điểm; P : tiếp diện) r R h Đặc biệt khi h 0 mặt phẳng P cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r R . d) Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu OH R OH R cắt S tại hai điểm OH R tiếp xúc S tại H phân biệt và S không có điểm H ( : tiếp điểm; : tiếp tuyến). chung Đặc biệt, khi d 0 thì đường thẳng đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B . Khi đó AB là đường kính của mặt cầu. e) Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S 4 R2 . 4 Khối cầu bán kính R có thể tích là: V R3 . 3
13. B. BÀI TÂP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Phần I: Giải tích Chủ đề 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Cho hàm số y f x xác định trên đoạn a;b . Điều kiện đủ để hàm số nghịch biến trên đoạn a;b là   A. f x liên tục trên a;b và f x 0 với mọi x a;b . B. f x liên tục trên a;b và f x 0 với mọi x a;b . C. f x 0 với mọi x a;b . D. f x 0 với mọi x a;b . Câu 2: Cho hàm số y f x liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . Câu 3: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng ; , có bảng biến thiên dưới đây: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . Câu 4: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hàm số nghịch biến trên khoảng A. (- 1;1). B. (0;+ ¥ ) C. (0;1). D. (- ¥ ;1) Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
14. x 2 f x + + 1 f x Hàm số đã1 cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 0;3 . C. ; . D. 3; . Câu 6: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng ; , có bảng biến thiên như hình sau: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? x 1 0 1 y' 0 0 y A. 1; 0 . B. 1; 1 . C. ; 1 . D. 0; . Câu 8: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . Câu 9: Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng?
15. A. Hàm số nghịch biến trên R\ 2 . B. Hàm số đồng biến trên ;2 , 2; . C. Hàm số nghịch biến trên ;2 , 2; . D. Hàm số nghịch biến trên R. Câu 10: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;2 . B. 2;2 . C. ;0 . D. 2; . Câu 11: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng y ax3 bx2 cx d a 0 . y 1 -1 x O 1 -3 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; . B. 1; . C. ;1 . D. 1;1 . Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;0 . B. 2; . C. 0; 2 . D. 2;2 . Câu 13: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ . B. Hàm số nghịch biến trên 1; . C. Hàm số đồng biến trên 1; . D. Hàm số nghịch biến trên ; 1 . Câu 14: Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
16. A. 0;2 . B. 2;0 . C. 3; 1 . D. 2;3 . Câu 15: Cho hàm số f x xác định trên ¡ , bảng biến thiên của hàm số y f x như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0; Câu 16: Cho hàm số f x liên tục và xác định trên ¡ . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên 1; . B. Hàm số f x đồng biến trên ; 1 và 3; . C. Hàm số f x nghịch biến trên ; 1 . D. Hàm số f x đồng biến trên ; 1  3; . Câu 17: Cho hàm số f (x)= ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (a ¹ 0). Biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm là f '(x) và hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như hình bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? A. Trên (- 2;1) thì hàm số f (x) luôn tăng. B. Hàm f (x) giảm trên đoạn [- 1;1]. C. Hàm f (x) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ). D. Hàm f (x) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2) Câu 18: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ.
17. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . Câu 19: Hình bên là đồ thị của hàm số y f x . Hỏi đồ thị hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? y O 1 2 x A. 2; . B. 1;2 . C. 0;1 . D. 0;1 và 2; . Câu 20: Cho hàm số y f x có đồ thị f ' x như hình vẽ bên dưới. Hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến? A. 3. B. 1. C. 4 D. 2. Câu 21: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? A. 1;3 . B. ;3 . C. 1;1 . D. 3; .
18. Câu 22: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên ¡ . Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f ' x trên ¡ . Khẳng định nào sau đây là đáp án đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 . MỨC ĐỘ 2 Câu 23: Cho hàm số y x3 3x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và nghịch biến trên khoảng 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 và đồng biến trên khoảng 1; D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . Câu 24: Cho hàm số y x3 3x2 5. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . x4 Câu 25: Hàm số y 2x2 1 đồng biến trên khoảng 4 A. ; 1 . B. ;0 . C. 1; . D. 0; . x 1 Câu 26: Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 A. Hàm số nghịch biến trên R\\ 1 . B. Hàm số đồng biến trên R\\ 1 . C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . D. Hàm số đồng biến trên ; 1  1; . Câu 27: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ . 4x 1 A. y x4 x2 1. B. y x3 1. C. y . D. y tan x . x 2 Câu 28: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ; ? x 1 A. y x4 3x2 2x 1. B. y . 2x 2 C. y x3 x2 2x 1. D. y x3 3. Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên ¡ ? 2x 3 A. y sin x x . B. y x3 3x2 . C. y . D. y x4 3x2 1 x 1 . Câu 30: Hàm số y 2x x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
19. A. ;1 . B. 1;2 . C. 1; . D. 0;1 . Câu 31: Cho hàm y x2 6x 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 . Câu 32: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số g x f x nghịch biến trên khoảng nào? A. ; 1 . B. 1;0 . C. 1; . D. 0; . Câu 33: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x 2 x 5 x 1 . Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; . B. 2;0 . C. 0;1 . D. 6; 1 . 2 Câu 34: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x3 x 1 x 2 . Khoảng nghịch biến của hàm số là A. ; 2 ; 0;1 . B. 2;0 ; 1; . C. ; 2 ; 0; . D. 2;0 . Câu 35: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm f x x 1 2 x 1 3 2 x . Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;2 . B. ; 1 . C. 1;1 . D. 2; . 1 Câu 36: Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số y x3 mx2 8 2m x m 3 đồng biến 3 trên ¡ A. m 2 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 4 . m Câu 37: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 m 1 x2 m 2 x 5 đồng 3 biến trên ¡ . 1 1 A. m . B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 . 4 4 MỨC ĐỘ 3 mx 6m 5 Câu 38: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên x m 3; . A. 1 m 3. B. 1 m 3. C. 1 m 5. D. 1 m 5. mx 4 Câu 39: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng m x 3;1 . A. m 1;2 . B. m 1;2 . C. m 1;2 . D. m 1;2. Câu 40: Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
20. A. 1;1 . B. 2;1 . C. 1;2 . D. 0; 1 . Câu 41: Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x g x đồng biến trên khoảng nào? A. ;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 1; . Câu 42: Cho hai hàm số f x và g x có đồ thị như hình vẽ sau Hàm số y 4 f x 3g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây ? A. 2; . B. 0;2 . C. 2;0  2; . D. ; 2 . Chủ đề 2: Cực trị của hàm số. MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 2: Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 3: Cho hàm số f x có bảng xét dấu của f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 4: Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: