Đề minh họa tốt nghiệp THPT Toán năm 2025

Nội dung tài liệu: Đề minh họa tốt nghiệp THPT Toán năm 2025

1. ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2025 PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x ex là: ex 1 ex A. C . B. eCx . C. C . D. x. ex 1 C . x 1 x Lời giải exx dx e C Đáp án: B Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn ab; . Xét hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng xa , xb . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox có thể tích là: b b b 2 A. V f x dx . B. V 2 f x dx . C. V 2 f x dx . D. a a a b 2 V f x dx . a Lời giải Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng , xb quanh trục được tính theo công thức: b 2 V f x dx . a Đáp án: D Câu 3. Hai mẫu số liệu ghép nhóm M1 , M2 có bảng tần số ghép nhóm như sau: Nhóm 8; 10 10; 12 12; 14 14; 16 16; 18 M1 Tần số 3 4 8 6 4 Nhóm M2 Tần số 6 8 16 12 8 Gọi s1 , s2 lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm M1 , M2 . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ss12 . B. ss12 2 . C. 2ss12 . D. 4ss12 . Lời giải Mẫu số liệu M1 Nhóm Tần số 3 4 8 6 4 x i 9 11 13 15 17 n 25 3..... 9 4 11 8 13 6 15 4 17 333 x 25 25 Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: 3 9 x 2 4 11 x 2 8 13 x 2 6 15 x 2 4 17 x 2 s 2,445 25 Mẫu số liệu M2 Nhóm
2. Tần số 6 8 16 12 8 11 x 9 13 15 17 i n 50 6..... 9 8 11 16 13 12 15 8 17 333 x 50 25 Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: 6 9 x 2 8 11 x 2 16 13 x 2 12 15 x 2 8 17 x 2 s 2, 445 50 Đáp án: A Nhận xét: Hai mẫu số liệu có cùng các nhóm như nhau, tần số của các nhóm tương ứng tỷ lệ (Mẫu M2 gấp 2 lần mẫu M1 ), nên độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu bằng nhau. Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 1;; 3 5 và có một vectơ chỉ phương u 2;; 1 1 là: x 135 y z x 1 y 3 z 5 A. . B. . 2 1 1 2 1 1 x 1 y 3 z 5 x 1 y 3 z 5 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Lời giải Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1;; 3 5 và có một vectơ chỉ phương 2;; 1 1 là: x 1 y 3 z 5 . 2 1 1 Đáp án: C ax b Câu 5. Cho hàm số y c 00, ad bc có đồ thị như cx d hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: 1 A. x 1. B. y . 2 1 C. y 1. D. x . 2 Lời giải 1 Từ đồ thị hàm số, ta thấy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y . 2 Đáp án: B Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 13 là: A. 19; . B. ;9 . C. 9; . D. 17; . Lời giải Bất phương trình log2 x 13 tương đương với: 0 x 1 23 0 x 1 8 19 x . Đáp án: A Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng P có phương trình x 3 y z 8 0 . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P ? A. n1 1;; 3 1 . B. n2 1;; 3 1 . C. n3 1;; 3 8 . D. n4 1;; 3 8 .
3. Lời giải Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình x 3 y z 8 0 là 1;; 3 1 . Đáp án: B Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ABCD . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ABCD ? A. SAB . B. SBC . C. SCD . D. SBD . Lời giải Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABCD vì SA ABCD và SA SAB . Đáp án: A Câu 9. Nghiệm của phương trình 26x là: A. x log6 2 . B. x 3. C. x 4. D. x log2 6 . Lời giải x Phương trình 26 có nghiệm x log2 6 . Đáp án: D Câu 10. Cấp số cộng un có u1 1 và u2 3. Số hạng u5 của cấp số cộng là: A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Lời giải Công thức tổng quát của cấp số cộng un là: un u1 n 1 d , trong đó d là công sai của cấp số cộng. u 1 u 3 d u u 3 1 2 Từ 1 và 2 , ta có 21 . A' D' Do đó, u51 u 4 d 1 4. 2 9. Đáp án: C B' C' Câu 11. Cho hình hộp ABCD. A B C D (minh họa như hình bên). A D Phát biểu nào sau đây là đúng? B C A. AB BB B A AC . B. AB BC C D AC . C. AB AC AA AC . D. AB AA AD AC . Lời giải Theo quy tắc hình hộp ta có Đáp án: D y Câu 12. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? -1 O 1 x A. ; 1 . B. ;1 . C. 11; . D. 1; -2 Lời giải Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 11; . Đáp án: C PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1. Cho hàm số f x 2 cos x x . a) ff 02 ; . 22 P b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f x 21sin x .
4. c) Nghiệm của phương trình fx 0 trên đoạn 0; là . 2 6 d) Giá trị lớn nhất của fx trên đoạn 0; là 3 . 2 6 Lời giải (a) f 0 2cos 0 0 2 và f 2 cos . Đúng. 2 2 2 2 (b) Đạo hàm của f x 2 cos x x là f x 21sin x . Sai. (c) f x 21sin x khi đó f 2sin 1 0 , suy ra x là nghiệm của phương 66 6 trình fx 0 trên đoạn 0; . Đúng. 2 (d) f x 2 cos x x , có nghiệm x 0; , ff 02 ;, 62 22 f 23cos . Do đó, giá trị lớn nhất của fx trên đoạn 0; là 3 . 6 6 6 6 2 6 Đúng. Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v t at b (a, b R ,a 0 ), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. b) Giá trị của b là 10. c) Quãng đường St (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây ( 0 t 24) kể từ 24 khi tăng tốc được tính theo công thức S t v t dt . 0 d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Lời giải (a) Tốc độ ban đầu của ô tô là 36 km/h = 10 m/s. Quãng đường ô tô đi được trong 2 giây đầu tiên là: Sm1 10. 2 20 . Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là: S2 200 20 180 m. Đúng. (b) Ta có v t at b . (cần phải nói rõ đơn vị ms ) Thời điểm bắt đầu tăng tốc ta có t 0, v 10 vb 0 10 . Đúng. (c) Do vt 0 với 00 t , đó đó quãng đường St mà ô tô đi được trong thời gian giây t 0 t 24 kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức: S t v t dt . Còn công thức 0 24 S t v t dt là quãng đường ô tô đi được trong 24 giây. Sai. 0 (d) Ta có v t at 10 . Biết xe nhập làn sau 12 giây kể tứ lúc tăng tốc, nên 2 12 t 12 15 15 180 at 10 dta 10 t  192 aa vt t 10 ms 0 20 16 16
5. 15 Tốc độ của ô tô sau 24 giây là: v 24 24., 10 32 5 m  s 117 km  h 100 km  h . 16 Sai. Câu 3. Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời “sẽ mua”; có 95 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” và “không mua” lần lượt là 70% và 30%. Gọi A là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”. Gọi B là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”. 21 19 a) Xác suất PB và PB . 40 40 b) Xác suất có điều kiện PAB  03, . c) Xác suất PA 0, 51 . d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo Oxyzphần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Phỏng vấn Thực tế Người mua thật Người không mua thật Người trả lời sẽ mua (105) 0,7 105=73,5 105-73,5=31,5 Người trả lời sẽ không mua (95) 0,3 95=28,5 95-28,5=66,5 (a) Số người trả lời "sẽ mua" là 105 nên nB 105 . Do đó 105 21 21 19 PB và PB 1 . Đúng. 200 40 40 40 P A B n A B (b) Ta có: PAB  . P B n B AB là tập hợp các người trả lời sẽ mua và mua thật, do đó n A B 73, 5 73, 5 Do đó, PAB  07, . Sai. 105 (c) A lầ tập hợp các người mua thật, nA 73,, 5 28 5 102 , do đó 102 PA 0, 51. Đúng. 200 (d) Tổng số người thực sự mua sản phầm là 102. Số người trả lời sẽ mua sản phẩm và thực sự mua là 73,5 người. Tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn và người thực sự mua 73, 5 sản phẩm nói chung là 72%. Sai. 102 A Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và M có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 N km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể 6400 km 6600 km bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài
6. trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M 6;; 20 0 đến điểm N 6;; 12 16 . xt 63 a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là yt 20 8 (tR ). zt 4 b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A 3;; 4 12 c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18 900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô- mét). d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Lời giải (a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là MN 12;;;; 32 16 4 3 8 4 . xt 63 Phương trình tham số của đường thẳng là: yt 20 8 , . Đúng. zt 4 (b) Để tìm vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi, ta cần tìm điểm giao của đường thẳng với mặt cầu có tâm O 000;; và bán kính R 6 , 4 6 , 6 13 Phương trình mặt cầu là: x2 y 2 z 2 13 2 . Thay xt 63 , yt 20 8 và zt 4 vào phương trình mặt cầu, ta được: 2 2 2 6 3t 20 8 t 4 t 132 89tt2 356 267 0 Giải phương trình, ta tìm được t 3 hoặc t 1. Thay t 3 và t 1 vào phương trình tham số của đường thẳng , ta được hai giao điểm của MN và mặt cầu là 3;; 4 12 và 3;; 12 4 . Nhận thấy từ M đến N, hoành độ có xu hương giảm dần, nên điểm A 3;; 12 4 . Sai. (c) Ta có B 3;; 4 12 Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng là AB AB 33 2 412 2 124 2 289 , tương đương với 18900km . Đúng. (d) Thời gian thiên thạch di chuyển từ M đến là: MN 6 6 2 12 20 2 16 0 2 4 89 2 AB MN Do đó t .36 (phút). Đúng AB A' C' PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có AB 5 , BC 6, CA 7 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng bao B' nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải 7 A Kẻ AH BC ta có AA  ABC AA  AH AH là đoạn C 5 6 vuông góc chung của AA và BC . Do đó, khoảng cách giữa hai đường H B thẳng và bằng AH . 567 Xét tam giác ABC có nửa chu vi p 9 . 2
7. Diện tích SABC 9 9 5 9 6 9 7 6 6 2S 2. 6 6 AH ABC 2 6 4, 9 BC 6 Đáp án: 4,9. Câu 2. Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ ABCD,,, A với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả 9 trong hìnhA bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả 11 10 D các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và 11 14 không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều B 12 C kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Lời giải Người chơi có thể lựa chọn cách xuất phát từ một trong 4 trụ ABCD, , , . M Giả sử người chơi xuất phát từ trụ A . Oxyz Để đi qua tất cả các trụ còn lại đúng một lần và quay trở về , người chơi có thể đi theo một trong các đường đi: Đường đi Tổng số thử thách ABCDA 10 12 14 9 45 ABDCA 10 11 14 11 46 ACBDA 11 12 11 9 43 ACDBA 11 14 11 10 46 ADBCA 9 11 12 11 43 ADCBA 9 14 12 10 45 Do đó, tổng số thử thách của đường đi nhận giá trị nhỏ nhất là 43. Đáp án: 43. Câu 3. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A 3;; 1 0 , B 366;; , C 4;; 6 2 , D 6;; 2 14 ; vị trí M a;; b c thỏa mãn MA 3 , MB 6, MC 5, MD 13 . Khoảng cách từ điểm đến điểm O bằng bao nhiêu? Lời giải Ta có: 222 2 2 2 MA 3 a 3 b 1 c 9 a b c 6 a 2 b 1 2 2 2 2 2 2 MB 6 a 3 b 6 M c 6 36 a b c 6 a 12 b 12 c 45 2 2 2 2 2 2 MC 5 a 4 b 6 c 2 25 a b c 8 a 12 b 4 c 31 MD 13 2 2 2 a2 b 2 c 2 12 a 4 b 28 c 67 a 6 b 2 c 14 169 Giải hệ phương trình này, ta tìm được a 1, b 2 , c 2 Do đó, khoảng cách từ điểm đến điểm O là: OM a2 b 2 c 2 1 2 22 2 2 3. Đáp án: 3.
8. Câu 4. Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. 20 m Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách 80 m từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). 20 m Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông? 60 m Lời giải Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa. 60 m Diện tích của hình chữ nhật là: 60 80 4800 m2 . y Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Phương trình parabol bên dưới có dạng: ya xb2 (vì đỉnh parabol thuộc trục tung). 80 m 1 y 0 20 b 20 a Ta có 2 45 . y 30 0 a.30 20 0 20 m b 20 1 O x Phương trình Parabol dưới là yx 2 20 45 Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng: 30 1 2 x 20 dx 800 . 30 45 Diện tích của phần sân chơi là: 4800 2  800 3200 m2 . Đáp án: 3200. Câu 5. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 x 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F x x32 1999 x 1001000 x 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một 250000 sản phẩm là G x x 1000 (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm x để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Lời giải Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất sản phẩm là: 22 250000 LxFxxGxx 1999 x 1001000 x 250000 xx 1000 . x x32 2000 x 1000000 x . L x 3 x2 4000 x 1000000 x 1000 L x 3 x2 4000 x 1000000 0 1000 , x 1000 0; 500 , loại x 3 Lập BBT của hàm số fx trên đoạn 0; 500 x - 0 1000/3 500 + y' + 0 - y
9. Do số sản phẩm là số nguyên, nên ta xét giá trị của hàm số tại hai điểm nguyên trước và sau giá 1000 trị là 333 và 334. Ta có f 333 148148037; f 334 148147704 f 333 f 334 3 Do đó, doanh nghiệp nên sản xuất 333 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Đáp án: 333. Câu 6. Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải Gọi là biến cố "lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang", B là biến cố "lấy ra từ hộp II là quả bóng màu đỏ". P A B n A B Ta cần tính PAB  . P B A n B Đếm nB : Chia hai TH TH1. Lấy một quả đỏ từ hộp 1 sang hộp 2, rồi lấy một quả đỏ một quả đỏ từ hộp 2, có 6. 8 48cách TH2. Lấy một quả vàng từ hộp 1 sang hộp 2, rồi lấy một quả đỏ một quả đỏ từ hộp 2, có 4. 7 28 Suy ra nB 48 28 76 Đếm n A B . AB là biến cố lấy một quả đỏ từ hộp 1 sang hộp 2 rồi lấy quả đỏ đó từ hộp 2 ra ngoài, do đó n A B 6. 1 6 6 Do đó, PAB  0, 08 . 76 Đáp án: 0,08.