Đề cương ôn thi Toán 12 năm 2025 - Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn thi Toán 12 năm 2025 - Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian

1. VECTƠ VÀ PP TOẠ ĐỘ TRONG KG ÔN THI 2025 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. VECTƠ 1. Vectơ và các phép toán vectơ a) Các khái niệm Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua hai đầu mút của vectơ; độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai đầu mút của vectơ; hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau; hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài; vectơ-không (kí hiệu 0 ) là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau; hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài. b) Các phép toán vectơ trong không gian Tổng và hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và kí hiệu là (Hình 1). Hiệu của vectơ và vectơ là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ kí hiệu là Chú ý Nếu là hình bình hành thì (Quy tắc hình bình hành). Nếu ' là hình hộp thì (Quy tắc hình hộp). Với ba điểm trong không gian, ta có: (Quy tắc hiệu). Tích của một số với một vectơ Cho số thực và vectơ Tích của số với vectơ là một vectơ, kí hiệu là được xác định như sau: Cùng hướng với vectơ nếu ngược hướng với vectơ nếu Có độ dài bằng Chú ý Ta có khi và chi khi hoặc - Với hai vectơ bất kì và hai số thực ta có: Hai vectơ khác 0 là cùng phương khi và chi khi có một số thực sao cho Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì Nếu là trọng tâm của tam giác thì Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là có số thực sao cho Tích vô hướng của hai vectơ
2. Cho hai vectơ khác Tích vô hướng của hai vectơ và kí hiệu là một số thực được xác định bởi công thức: ở đó là góc giữa hai vectơ Chú ý: Với các vectơ bất kì và số thực tuỳ ý, ta có: trong đó Ngoài ra, II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Xét không gian với hệ trục toạ độ 1. Toạ độ của vectơ  Toạ độ của một vectơ là toạ độ của điểm trong đó là điểm sao cho Nếu thì Ngược lại, nếu thì Với và ta có: Cho hai điểm và Khi đó, ta có:  2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Cho hai vectơ và Khi đó: với Chú ý Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực sao cho Nếu thì Nếu và thì
3. Với hai vectơ và khác vectơ ta có: Cho hai điểm và Nếu là trung điểm đoạn thẳng thì Cho tam giác có Nếu là trọng tâm tam giác thì 3. Phương trình mặt phẳng a) Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Chú ý: Nếu hai vectơ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng b) Phương trình măt phẳng Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tống quát là: với Mặt phẳng đi qua ba điểm với có phương trình chính tắc là: c) Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng lần lượt có phương trình tổng quát là: Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng  Tồn tại số thực sao cho  d) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính theo công thức:
4. 4. Phương trình đường thẳng a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng Nếu vectơ khác và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng thì được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng b) Phương trình đường thẳng Hệ phương trình trong đó không đồng thời bằng là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (với ) thì có phương trình chính tắc là: c) Vị trí tương đối của hai đuờng thẳng Cho hai đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm và tương ứng có là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:   cắt  và chéo nhau 5. Phương trình mặt cầu Phương trình của mặt cầu tâm bán kính là: Phương trình xác định một mặt cầu khi và chỉ khi Ngoài ra, nếu thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm và bán kính 6. Góc a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là Khi đó, ta có: Nhận xét: b) Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Khi đó, ta có:
5. c) Côsin của góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là Khi đó, ta có: B. MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phướng án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Ví dụ 1. Cho hai vectơ có và Khi đó, bằng: A. 3. B. 6. C. D. 12. Giải Ta có: Chọn Ví dụ 2. Trong không gian mặt cầu có bán kính bằng: A. 81. B. 9. C. 3. D. 6. Giải Bán kính mặt cầu bằng Chọn Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đíng hoặc sai. Ví dụ 3. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng trùng vơi mặt đất sao cho trục hương về phía tây, trục hướng về phía nam, trục hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí cách mặt đất cách về phía đông và về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. a) Ra đa ở vị trí có toạ độ b) Vị trí có tọa độ c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí Giải Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có toạ độ điểm Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là:
6. Vì nên ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) S. Ví dụ 4. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là b) Điểm nằm ngoài mặt cầu c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì có thể sử dụng địch vụ của trạm thu phát sóng đó. d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Giải Phương trình mặt cầu tâm bán kính mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là Ta có: nên điểm nằm trong mặt cầu. Vì điểm nằm trong mặt cầu nên người đùng điện thoại ở vị trí có tọa độ có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Ta có: nên điểm nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ không thể sử đụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đáp án: a) S, b) S, c) S, d) Đ. Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Ví dụ 5. Trong không gian cho tam giác có và Tính Giải Ta có: Suy ra C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho tứ diện Lấy là trọng tâm của tam giác Phát biểu nào sau đây là sai? A. B. C. D. Câu 2. Trong không gian cho điểm thoả mãn Toạ độ của điểm là: A. B. C. D. Câu 3. Trong không gian cho hai vectơ Toạ độ của vectơ là:
7. A. B. C. D. Câu 4. Trong không gian cho vectơ Toạ độ của vectơ là: A. B. C. D. Câu 5. Trong không gian cho tam giác có và Trọng tâm của tam giác có tọa độ là: A. B. C. D. Câu 6. Trong không gian tích vô hướng của hai vectơ và bằng: A. B. C. 24. D. -24. Câu 7. Trong không gian khoảng cách giữa hai điểm và bằng: A. 100. B. 20. C. 10. D. 17. Câu 8. Trong không gian cho hai vectơ và Toạ độ của vectơ là: A. B. C. D. Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật Cặp vectơ nào sau đây là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ? A. và B. và C. và D. và Câu 10. Trong không gian vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A. B. C. D. Câu 11. Trong không gian mặt phẳng đi qua điểm nhận là cặp vectơ chí phương có phương trình tổng quát là: A. B. C. D. Câu 12. Trong không gian mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm có phương trình chính tắc là: A. B. C. D. Câu 13. Trong không gian đường thẳng đi qua điểm và nhận là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: A. B. C. D. Câu 14. Trong không gian vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng ? A. B. C. D. Câu 15. Trong không gian mặt cầu tâm và đường kính bằng 10 có phương trình là: A. B.
8. C. D. Câu 16. Trong không gian điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt cầu A. B. C. D. Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a) Tứ giác là hình vuông. b) Tam giác vuông cân tại c) d) Câu 18. Trong không gian cho các điểm a) b) c) d) Ba điểm không thẳng hàng. Câu 19. Trong không gian cho hình bình hành có và а) b) c) d) Toạ độ điểm là Câu 20. Trong không gian cho hình lập phương có Gọi lần lượt là trung điểm của và (Hình 3). a) Toạ độ của điểm là b) Tọa độ của điểm là c) Phương trình mặt phẳng là: d) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Câu 21. Trong không gian cho hai mặt phẳng Xét các vectơ a) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng b) không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
9. c) d) Góc giữa hai mặt phẳng bằng Câu 22. Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Xét các vectơ a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng b) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng c) d) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Câu 23. Trong không gian cho hai đường thẳng Xét các vectơ và a) Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. b) Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. c) d) Hai đường thẳng và chéo nhau. Câu 24. Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: b) Nếu người đi biển ở vị trí thì không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. c) Nếu người đi biển ở vị trí 44) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. d) Nếu hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 25. Cho hình lập phương Gọi lần lượt là trung điểm của và Gọi là góc giữa hai vectơ và Số đo của góc bằng bao nhiêu độ? Câu 26. Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và Tích vô hướng ( là số thập phân). Giá trị của bằng bao nhiêu? Câu 27. Trong không gian cho tam giác có Số đo của góc bằng bao nhiêu độ? Câu 28. Một người đứng ở. mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí cách vị trí điều khiển về phía nam và về phía
10. đông, đồng thời cách mặt đất Flycam II ở vị trí cách vị trí điều khiển về phía bắc và về phía tây, đồng thời cách mặt đất Chọn hệ trục toạ độ với gốc là vị trí người điều khiển, mặt phẳng trùng với mặt đất, trục có hướng trùng với hướng nam, trục có hướng trùng với hướng đông, trục vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 29. Trong không gian cho hai mặt phẳng và Góc giữa hai mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 30. Trong không gian cho hai đường thẳng và Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 31. Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 32. Trong không gian cho tứ diện có và Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu? Câu 33. Khi gắn hệ toạ độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt knẳng người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí ở mái nhà bên phải lần lượt có toạ độ và Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 34. Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí sẽ hạ cánh tới vị trí Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 35. Khi gắn hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí đến vị trí và hạ cánh tại vị trí Giá trị của bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)? D. LỜI GIẢI - HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 B B A D A D C C D 0B 1D 2C 3A 4B 5B 6C Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Câu 17. (Hình 4) Vì tứ giác là hình vuông có độ dài cạnh bằng nên độ dài đường chéo bằng Tam giác có và nên tam giác vuông cân tại suy ra
11. Do đó Suy ra Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ. Câu 18. Đáp án: a) Đ, b) c) d) Đ. Câu 19. Ta có: Vì là hình bình hành nên Suy ra Vậy Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S. Câu 20. Ta có các điểm: Suy ra phương trình mặt phẳng là: Mà Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng: Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ. Câu 21. lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng Ta có: và Suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S. Câu 22. Ta có: là một vectơ chỉ phương của đường thẳng và là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Khi đó, Suy ra Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ. Câu 23. Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. Đường thẳng đi qua điểm và có là một vectơ chỉ phương. Ta có: và Suy ra hai đường thẳng và không chéo nhau. Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
12. Câu 24. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: Ta có: nên người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Ta có: nên người đi biển ở vị trí không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Vì đường kính của mặt cầu trên bằng hay nên hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ. Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 25. (Hình 5). Vì nên Tam giác là tam giác đều vi là hình lập phương. Suy ra Vậy Câu 26. (Hình 5). Vì nên Ta có: Suy ra Vậy Câu 27. Ta có: Suy ra Suy ra góc Câu 28. Vị trí có tọa độ lần lượt là: Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng: Câu 29. Hai mặt phẳng và lần lượt có vectơ pháp tuyến là và Ta có: Suy ra Câu 30. Hai đường thẳng và lần lượt có vectơ chỉ phương là và Ta có:
13. Suy ra Câu 31. Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là Ta có: Suy ra Câu 32. Ta có: nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vậy phương trình mặt phẳng là: Khi đó, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng: Câu 33. Mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là: Từ đó, góc có giữa mái nhà bên phải và nền nhà có Suy ra Câu 34. Đường thẳng có vectơ chỉ phương là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Từ đó, góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng ) và sân bay (một phần của mặt phẳng ) có Suy ra Câu 35. Phương trình đường thẳng là: Vì thuộc nên tồn tại số thực sao cho Ngoài ra, thuộc mặt phẳng nên Suy ra Vậy