Đề cương ôn tập Toán 12 - Bài 2: Tích phân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán 12 - Bài 2: Tích phân

1. BÀI 2. TÍCH PHÂN I. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Câu 1: Tính các tích phân sau: a) b) c) Câu 2: Tính các tích phân sau: Câu 3: Tính các tích phân sau: Câu 4: Tính các tích phân sau: Câu 5: Cho tích phân Tính giá trị của Câu 6: Tính tích phân . Câu 7: Cho tích phân . Tính Câu 8: Tính tích phân . Câu 9: Cho tích phân . Tính Câu 10: Cho và . Tính . Câu 11: Cho hàm số . Tích phân . Câu 12: Gọi là nguyên hàm của hàm số . Tính Câu 13: Gọi là nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện . Tính . Câu 14: Chứng minh là một nguyên hàm của hàm số . Từ đó tính tích phân DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 15: Tính các tích phân sau: 1
2. Câu 16: Tính DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối a) Yêu cầu: Tính tích phân b) Phương pháp: + Bước 1: Xét dấu của trên khoảng - Giải phương trình - Lập bảng xét dấu của trên khoảng + Bước 2: Chèn cận và đồng thời bỏ dấu (căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản Chú ý: Nếu không đổi dấu trên đoạn thì Câu 17: Tính các tích phân: Câu 18: Tính các tích phân 1) . 2) 3) 4) Câu 19: Tính tích phân sau Câu 20: Tính tích phân sau Câu 21: Tính tích phân sau Câu 22: Tính . Câu 23: Tính Câu 24: Cho hàm số . Biết hàm số liên tục trên . Tính Câu 25: Cho hàm số . Biết hàm số liên tục trên . 2
3. Tính Câu 26: Cho hàm số . Xác định để . Câu 27: Cho . Tính Câu 28: Gọi là nguyên hàm của hàm số . Biết và . Tính Câu 29: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn ; . Tính giá trị của biểu thức DẠNG 4: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG Câu 30: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng ( Hình vẽ bên). Câu 31: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng ( Hình vẽ bên). 3
4. Câu 32: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Câu 33: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng Câu 34: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Câu 35: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , . Câu 36: Một chiếc xe đang chuyển động thẳng đều với vận tốc 30 m/s thì người lái đạp phanh khiến vận tốc của xe thay đổi theo thời gian (giây) được tính theo công thức . Tính quãng đường di chuyển của xe trong khoảng thời gian tính từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. Câu 37: Biết rằng nhiệt độ tại thời điểm giờ trong khoảng thời gian từ 5 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở thành phố A vào một ngày mùa hạ được xác định bởi hàm số . Tính nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 5 giờ sáng đến 12 giờ trưa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 ĐÁP ÁN. Câu 1: Cho hàm số liên tục trên . Biết hàm số là một nguyên hàm của trên và Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 2: Cho hàm số liên tục trên . Biết hàm số là một nguyên hàm của trên và . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 3: Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Biết là nguyên hàm của trên đoạn thỏa mãn và . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 4: Cho là một hàm số liên tục trên đoạn . Biết là nguyên hàm của hàm trên 4
5. đoạn thỏa mãn và . Khi đó . A. . B. . C. . D. . Câu 5: Nếu và thì bằng A. . B. . C. . D. Câu 6: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . 5
6. Câu 7: Đường gấp khúc trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số trên đoạn . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 8: Cho đường gấp khúc trong hình vẽ là đồ thị của hàm số trên đoạn . Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 9: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 10: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 11: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 12: Nếu và thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 13: Tích phân bằng A. B. C. D. 6
7. Câu 14: Nếu thì bằng A. B. C. D. Câu 15: Nếu và thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 16: Nếu và thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 17: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 18: Nếu và thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 19: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 20: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 21: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 22: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . 2 3 2 f ( x ) d x F x x f x Câu 23: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của 1 bằng 23 15 A. 4 . B. 7 . C. 9 . D. 4 . Câu 24: Biết . Khi đó bằng : A. . B. . C. . D. . Câu 25: Biết và . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 26: Biết . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . 7
8. Câu 27: Biết . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 28: Biết và Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 29: Biết . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Câu 30: Cho và , khi bằng A. B. C. D. Câu 31: bằng A. B. C. D. Câu 32: bằng A. B. C. D. Câu 33: Tích phân bằng A. B. C. D. Câu 34: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tính: ? A. B. C. D. Câu 35: bằng A. B. C. D. Câu 36: bằng A. B. C. D. Câu 37: Cho . Tính A. B. C. D. 8
9. Câu 38: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn , . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 39: Cho , là hai hàm liên tục trên đoạn thoả: , . Tính . A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. Câu 40: Cho là hai hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện đồng thời . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 41: Cho , là hai hàm liên tục trên thỏa: và . Tính . A. 8. B. 7. C. 9. D. 6. Câu 42: Cho . Tính . A. B. C. D. Câu 43: Cho và . Tính . A. B. C. D. Câu 44: Cho hai tích phân và . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 45: Cho và , khi đó bằng . B. C. D. A Câu 46: Cho hàm số liên tục trên và . Tính . A. . B. . C. . D. . 9
10. Câu 47: Biết rằng hàm số thỏa mãn , và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 48: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành là A. . B. . C. . D. . Câu 49: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường , trục hoành, trục tung và đường thẳng là A. . B. . C. . D. . Câu 50: Gọi là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường và các đường Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . B. C. . D. Câu 51: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi bằng A. B. . C. D. Câu 52: Diện tích hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , là A. . B. . C. . D. . Câu 53: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là A. . B. . C. . D. . Câu 54: Tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng ? A. . B. C. . D. Câu 55: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục hoành và hai đường thẳng bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 56: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích của hình phẳng bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 57: Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là . Tìm 10
11. A. B. C. . D. Câu 58: Tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 59: Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 60: Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính ? A. . B. . C. . D. . Câu 61: Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính ? A. . B. . C. . D. . Câu 62: Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính ? A. . B. . C. . D. . Câu 63: Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính ? A. . B. . C. . D. . Câu 64: Cho Giá trị tích phân bằng A. . B. . C. . D. . Câu 65: Cho là một nguyên hàm của hàm số trên thỏa mãn . Giá trị bằng A. . B. . C. . D. . Câu 66: Trong mặt phẳng , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó giá trị là 11
12. A. . B. . C. . D. . Câu 67: Cho và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 68: Cho hàm số . Tính tích phân . A. . B. . C. . D. . Câu 69: Cho và . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 70: Cho hàm số . Tính tích phân . A. . B. . C. . D. . Câu 71: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 72: Nếu thì bằng A. . B. . C. . D. . Câu 73: Cho các hàm số liên tục trên có . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 74: Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 75: Cho các hàm số , liên tục trên có , . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 76: Cho số thỏa mãn . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 77: Nếu thì bằng 12
13. A. . B. . C. . D. . III. HỆ THỐNG BÀI TẬP CÂU HỎI 4 MỆNH ĐỀ TRẢ LỜI ĐÚNG/SAI. Câu 1: Cho . a) . b) . c) . d) . Câu 2: Cho hàm số và liên tục trên đoạn thoả mãn . a) . b) . c) . d) . Câu 3: Cho hàm số liên tục trên thoả mãn . a) . b) . c) . d) . Câu 4: Cho một nguyên hàm của hàm số trên . a) . 13
14. b) . c) . d) . Câu 5: Cho hàm số . a) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số . b) . c) . d) Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng là . Câu 6: Cho các hàm số và liên tục trên thỏa a) b) . c) Nếu . Khi đó: . d) Cho . Khi đó: . Câu 7: Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai chất điểm và xuất phát cùng lúc, bên cạnh nhau và cùng trên một con đường thẳng. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm là một parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm là một đường thẳng như hình vẽ sau a) Phương trình đường thẳng . b) Phương trình parabol . c) Quãng đường chất điểm đi được trong giây đầu tiên là . d) Sau khi đi được giây, khoảng cách của hai chất điểm là . 14
15. Câu 8: Cho hàm số và là một nguyên hàm của hàm số . a) . b) Khi thì . c) Một nguyên hàm của là . d) . Câu 9: Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông cạnh bằng . Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông . Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và cạnh hình vuông, trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục sao cho . a) Phương trình của hai parabol là và . b) Diện tích trồng hoa bằng . c) Tỉ số diện tích đất trồng hoa và trồng cỏ bằng . d) Nếu chi phí mua cây giống hoa là 100.000 đồng/m2, cỏ là 70.000 đồng/m2 thì chi phí mua cây giống cho cả khu vườn là đồng. Câu 10: Cho hình phẳng như hình vẽ dưới đây.Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , là diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong ). a) b) c) với là một nguyên hàm của hàm số trên . d) . 15
16. Câu 11: Gọi là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ,trục hoành, trục tung và đường thẳng . a) b) c) d) GTNN là 3 Câu 12: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , , . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và sao cho (như hình vẽ bên). là hình vuông có cạnh bằng . a) Diện tích hình thang cong là (đvdt). b) Diện tích là 2 (đvdt). c) . d) . Câu 13: Hình vuông có cạnh bằng được chia thành hai phần bởi đường cong có phương trình . Gọi lần lượt là diện tích của phần không tô đậm và tô đậm như hình vẽ bên dưới. a) Diện tích hình vuông là . b) Diện tích . c) Diện tích . d) Tỉ số . Câu 14: Tại một nhà máy, gọi là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng. Khi đó, đạo hàm , gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức với . Biết rằng triệu đồng, gọi là chi phí cố định. a) . b) . 16
17. c) . d) . IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Câu 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Câu 2: Biết diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng bằng . Tìm ? Câu 3: Một mảnh đất có hình dạng là hình thang cong có các thông số như hình vẽ, biết phần đường cong là phần đồ thị của hàm số . Diện tích của mảnh đất đó là bao nhiêu? Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích , (hình vẽ). Tìm để . Câu 5: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các phương tiện giao thông (trừ xe hai bánh) khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu . Một ô tô đang chạy với vận tốc bỗng gặp một xe bán tải đang dừng đèn đỏ nên ô tô hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu diễn bởi công thức . Hỏi rằng để hai xe đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại, ô tô cần phải hãm phanh khi cách xe bán tải một khoảng ít nhất là bao nhiêu? Câu 6: Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu? Câu 7: Giả sử nhiệt độ (tính bằng ) tại thời điểm giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số . Tìm nhiệt độ trung bình (đơn vị độ C) vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa. 17
18. h t Câu 8: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi là thể tíc h nước bơm được sau t h t 6 at2 2 bt giây. Cho và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể 3 3 là 90m , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 504m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây (đơn vị ). Câu 9: Hình vuông có cạnh bằng được chia thành hai phần bởi đường cong có phương trình . Gọi , là diện tích của phần không bị gạch và phần bị gạch (như hình vẽ). Tính tỉ số . . Câu 10: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , và . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là , và như hình vẽ bên dưới. Tìm để . (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) . Câu 11: Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần I 1;5 của đường Parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). 18
19. Câu 12: Để chuẩn bị cho buổi dã ngoại, nhóm du lịch dự định dựng một cái lều trại có dạng như hình vẽ. Biết rằng mặt trước và mặt sau của trại là hai parabol bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và cùng vuông góc với mặt nền. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước chiều rộng là (lối vào lều), chiều dài là , đỉnh parabol cách nền . Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại. Câu 13: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá cửa rào sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn). Câu 14: Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng . Quảng đường mà vật di chuyển được trong 6 giờ là .Khi đó bằng bao nhiêu? 19
20. Câu 15: Một ca nô cao tốc có tốc độ (km/phút) thay đổi theo thời gian (phút) như sau: với Biết quãng đường ca nô di chuyển được trong thời gian 20 phút bằng 28,9 km. Giá trị của bằng Câu 16: Một vật được ném lên từ độ cao với vận tốc được cho bởi công thức . Gọi là độ cao của vật tại thời điểm . Hỏi khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu vật được ném đến lúc chạm đất xấp xỉ bằng bao nhiêu ( làm tròn kết quả đến hàng phần chục). Câu 17: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm , trong đó tính theo ngày . Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số trong đó là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calcucus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Câu 18: Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ . Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm t phút được cho bởi hàm số ( /phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm t là một nguyên hàm của hàm số , tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm phút kể từ khi truyền nhiệt. Câu 19: Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm t tháng kể từ khi người ta thả cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức (con/tháng), với là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm tháng tương ứng (nguồn: Chris Kirkpatrick, Barbara Alldred, Crystal Chilvers, Beverly Farahani, Kristina Farentino, Angelo Lillo, Ian Macpherson, John Rodger, Susanne Trew, Advanced Function, Nelson 2012). Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng. Câu 20: Nhằm tri ân người dân Bình Thuận đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp, Tập đoàn Nova đã tổ chức ngày hội “Cảm ơn Bình Thuận” vào ngày 10/07/2024. Trong chuỗi sự kiện đặc biệt này, tất cả người dân địa phương đều được miễn phí vé vào cổng, thỏa thích tận hưởng các trò chơi, tham quan các công trình kỳ thú, ấn tượng tại 05 công viên chủ đề được đầu tư, xây dựng hoành tráng với hàng trăm tiện ích. 20